Use a série binomial para expandir a função como série de Maclaurin. Determine o raio de convergência:
c) f(x)=\frac{1}{(2+x)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
f(x)=\frac{1}{(2+x)^{3}}
usando a série binomial, e em seguida o raio de convergência dessa série. O conteúdo necessário é a fórmula da série binomial generalizada:
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},\quad |u|<1.

Passo 2

Para aplicar diretamente a série binomial, escrevemos f(x) como potência de algo na forma (1+u). Temos
f(x)=(2+x)^{-3} =2^{-3}\Bigl(1+\frac{x}{2}\Bigr)^{-3} =\frac{1}{8}\Bigl(1+\frac{x}{2}\Bigr)^{-3}.

Passo 3

Pela série binomial generalizada, para \alpha=-3 vale
(1+u)^{-3} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-3}{n}u^{n},
onde
\binom{-3}{n} =\frac{(-3)(-4)\cdots(-3-n+1)}{n!} =(-1)^{n}\frac{(n+2)!}{2!\,n!} =(-1)^{n}\frac{(n+2)(n+1)}{2}.

Passo 4

Substituindo u=\tfrac{x}{2} e multiplicando o fator 1/8, obtém-se
f(x) =\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-3}{n}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{8}\Bigl[(-1)^{n}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\Bigr]\frac{x^{n}}{2^{n}}.
Simplificando os fatores:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(n+2)(n+1)}{2^{\,n+4}}\,x^{n}.

Passo 5

A série binomial converge quando \bigl|u\bigr|<1, ou seja \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1. Daí o raio de convergência é
R=2.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=\tfrac{1}{(2+x)^{3}} é
\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(n+2)(n+1)}{2^{\,n+4}}\,x^{n}},
e o raio de convergência é R=2.

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