Resolva:
\left(x y^{2}+2\right) d x+3 x^{2} y d y=0, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(xy^{2}+2\bigr)\,dx \;+\;3x^{2}y\,dy=0,\quad x>0
e pede a solução geral. Esse é um problema de exatidão e, se não for exata, vamos buscar um fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Verificamos se é exata. Chamando
M(x,y)=xy^{2}+2,\quad N(x,y)=3x^{2}y,
temos
\frac{\partial M}{\partial y}=2xy,\quad \frac{\partial N}{\partial x}=6xy.
Como 2xy\neq6xy, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x). Note que
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{2xy-6xy}{3x^{2}y} =-\frac{4}{3x},
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{3x}\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\ln x\bigr) =x^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4/3}. Obtém-se
M_{1}(x,y)=x^{-\tfrac{4}{3}}(xy^{2}+2) =x^{-\tfrac{1}{3}}y^{2}+2x^{-\tfrac{4}{3}},
N_{1}(x,y)=x^{-\tfrac{4}{3}}\cdot3x^{2}y =3x^{\tfrac{2}{3}}y.
Agora conferimos
\frac{\partial M_{1}}{\partial y} =2y\,x^{-\tfrac{1}{3}},\quad \frac{\partial N_{1}}{\partial x} =3y\cdot\tfrac{2}{3}x^{-\tfrac{1}{3}} =2y\,x^{-\tfrac{1}{3}},
e a equação torna-se exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} =M_{1}(x,y) =x^{-\tfrac{1}{3}}y^{2}+2x^{-\tfrac{4}{3}}.
Integramos em x:
\Psi(x,y) =\int x^{-\tfrac{1}{3}}y^{2}\,dx+\int 2x^{-\tfrac{4}{3}}\,dx =\frac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}}y^{2}-6x^{-\tfrac{1}{3}}+h(y).
Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =3x^{\tfrac{2}{3}}y + h'(y) \stackrel{!}{=}N_{1}(x,y)=3x^{\tfrac{2}{3}}y,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
\Psi(x,y)=\frac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}}y^{2}-6x^{-\tfrac{1}{3}}=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos multiplicar por 2/3 para simplificar:
x^{\tfrac{2}{3}}y^{2}-4x^{-\tfrac{1}{3}}=C_{1}.

Resposta

\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{2}{3}}y^{2}-6\,x^{-\tfrac{1}{3}}=C
ou equivalentemente
x^{\tfrac{2}{3}}y^{2}-4\,x^{-\tfrac{1}{3}}=C_{1}.

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