Use a série binomial para expandir a função como série de Maclaurin. Determine o raio de convergência:
b) f(x)=\frac{1}{(1+x)^{4}}\'

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Maclaurin a função
f(x)=\frac{1}{(1+x)^{4}}
usando a série binomial, e determinar o raio de convergência. Vamos lembrar que a série binomial é um caso de Maclaurin para funções do tipo (1+u)^{\alpha}.

Passo 2

A série binomial geral diz que, para |u|<1 e qualquer \alpha\in\mathbb{R}, vale
(1+u)^{\alpha} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}\,u^{n},
onde
\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Aqui usamos \alpha=-4 e u=x.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial para \alpha=-4:
\binom{-4}{n} =\frac{(-4)(-5)\cdots(-4-n+1)}{n!} =(-1)^{n}\,\frac{4\cdot5\cdots(n+3)}{n!} =(-1)^{n}\,\frac{(n+3)!}{3!\,n!} =(-1)^{n}\,\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.

Passo 4

Substituindo na série binomial, obtemos
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-4}{n}\,x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\,x^{n}.
Os primeiros termos ficam
f(x)=1-4x+10x^{2}-20x^{3}+\cdots.

Passo 5

A série binomial converge para |x|<1, logo o raio de convergência é
R=1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\,x^{n},
Raio de convergência: R=1.

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