Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
X^prime=(cc0 & 2 -1 & 3) X+binom2e^-3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema na forma X^prime = AX + f(t), onde A é uma matriz e f(t) é um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea X^prime = AX e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema: X^prime = AX, onde A = 0 & 2 -1 & 3 .
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios de A. Calculamos o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = det -lambda & 2 -1 & 3 - lambda = (-lambda)(3 - lambda) - (2)(-1) = lambda^2 - 3lambda + 2
Resolvendo lambda^2 - 3lambda + 2 = 0, temos as raízes lambda1 = 1 e lambda2 = 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 1:
Resolvemos (A - I)v = 0:
-1 & 2 -1 & 2 v1 v2 = 0 0
Isso leva a $ -v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = 2v_2 $. Então, podemos escolher -v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2 , logo v2 = 1.
Para v^(1) = 2 1 :
Resolvemos lambda2 = 2:
(A - 2I)v = 0
Isso leva a $ -2v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2 $. Escolhendo -2 & 2 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 , temos -2v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 .

Passo 4

Com os valores e vetores próprios, a solução geral da parte homogênea é:
Xh(t) = C1 e^lambda1 t v^(1) + C2 e^lambda2 t v^(2) = C1 e^t 2 1 + C2 e^2t 1 1

Passo 5

Agora vamos encontrar uma solução particular Xp(t) usando a variação de parâmetros. Assumimos que Xp(t) = U1(t) v^(1) + U2(t) v^(2), onde U1(t) e U2(t) são funções a determinar.
Para isso, precisamos montar a matriz fundamental $ \Phi(t) $ com as soluções homogêneas:
Phi(t)
Calculamos a inversa de $ \Phi(t) $:
Phi(t) = 2e^t & e^2t e^t & e^2t
Onde $ \det(\Phi) = 2e^{t} \cdot e^{2t} - e^{2t} \cdot e^{t} = e^{3t} $.
Então:
Phi(t)

Passo 6

A fórmula da variação de parâmetros nos dá:
U'(t) = Phi^-1(t) f(t)
Onde f(t) = 2 e^-3t .
Multiplicando:
U'(t) = e^-t & -e^-t -e^-2t & 2e^-2t 2 e^-3t = 2e^-t - e^-t e^-3t -2e^-2t + 2e^-2t e^-3t = 2e^-t - e^-4t -2e^-2t + 2e^-5t
Integrando cada componente:
U1(t) = integral (2e^-t - e^-4t) dt = -2e^-t + 14e^-4t + C
U2(t) = integral (-2e^-2t + 2e^-5t) dt = e^-2t - 25e^-5t + C
Desconsiderando as constantes de integração (já que elas são absorvidas na solução homogênea), temos:
U(t) = -2e^-t + 14e^-4t e^-2t - 25e^-5t

Passo 7

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = C1 e^t 2 1 + C2 e^2t 1 1 + -2e^-t + 14e^-4t e^-2t - 25e^-5t

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = C1 e^t 2 1 + C2 e^2t 1 1 + -2e^-t + 14e^-4t e^-2t - 25e^-5t
Onde C1 e C2 são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.

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