Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema na forma
, onde
é uma matriz e
é um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea
e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema:
, onde
.
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios de
. Calculamos o determinante de
:
Resolvendo
, temos as raízes
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso leva a $ -v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = 2v_2 $. Então, podemos escolher
, logo
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso leva a $ -2v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2 $. Escolhendo
, temos
.
Passo 4
Com os valores e vetores próprios, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 5
Agora vamos encontrar uma solução particular
usando a variação de parâmetros. Assumimos que
, onde
e
são funções a determinar.
Para isso, precisamos montar a matriz fundamental $ \Phi(t) $ com as soluções homogêneas:
Calculamos a inversa de $ \Phi(t) $:
Onde $ \det(\Phi) = 2e^{t} \cdot e^{2t} - e^{2t} \cdot e^{t} = e^{3t} $.
Então:
Passo 6
A fórmula da variação de parâmetros nos dá:
Onde
.
Multiplicando:
Integrando cada componente:
Desconsiderando as constantes de integração (já que elas são absorvidas na solução homogênea), temos:
Passo 7
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.