Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O sistema é:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado e, depois, encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz dos coeficientes. Calculamos o determinante:
Resolvendo a equação característica
:
Passo 3
Agora, para cada autovalor, encontramos o vetor próprio correspondente.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
.
Passo 4
Com os autovalores e vetores próprios, a solução geral do sistema homogêneo é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo:
Usaremos a variação de parâmetros. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
é um vetor função a ser determinado.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Cancelamos
e rearranjamos:
Para simplificar, vamos encontrar
resolvendo esse sistema.
Passo 7
Resolvendo para
, encontramos:
Após resolver as equações, obtemos
e, consequentemente, a solução particular
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.