Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
X^prime=(cc0 & 2 -1 & 3) X+binom1-1 e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O sistema é:
X^prime = 0 & 2 -1 & 3 X + 1 -1 e^t
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado e, depois, encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo:
X^prime = 0 & 2 -1 & 3 X
Para isso, precisamos encontrar os autovalores ( lambda) da matriz dos coeficientes. Calculamos o determinante:
det( 0 - lambda & 2 -1 & 3 - lambda ) = (0 - lambda)(3 - lambda) - (2)(-1) = lambda^2 - 3lambda + 2
Resolvendo a equação característica lambda^2 - 3lambda + 2 = 0:
lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 Rightarrow lambda1 = 2 e lambda2 = 1

Passo 3

Agora, para cada autovalor, encontramos o vetor próprio correspondente.
Para lambda1 = 2:
Resolvemos (A - 2I)v = 0:
-2 & 2 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: -2v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = v2. Podemos escolher v1 = 1, então v2 = 1.
Para lambda2 = 1:
Resolvemos (A - I)v = 0:
-1 & 2 -1 & 2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: -v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2. Podemos escolher v2 = 1, então v1 = 2.

Passo 4

Com os autovalores e vetores próprios, a solução geral do sistema homogêneo é:
Xh(t) = C1 e^2t 1 1 + C2 e^t 2 1
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( Xp(t)) para o sistema não homogêneo:
X^prime = A X + 1 -1 e^t
Usaremos a variação de parâmetros. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Xp(t) = u(t) e^t
Onde u(t) é um vetor função a ser determinado.

Passo 6

Derivando Xp(t):
Xp^prime(t) = u^prime(t) e^t + u(t) e^t
Substituindo na equação original:
u^prime(t) e^t + u(t) e^t = A u(t) e^t + 1 -1 e^t
Cancelamos e^t e rearranjamos:
u^prime(t) = (A - I) u(t) + 1 -1
Para simplificar, vamos encontrar u^prime(t) resolvendo esse sistema.

Passo 7

Resolvendo para u(t), encontramos:
u(t) = a b
Após resolver as equações, obtemos u(t) e, consequentemente, a solução particular Xp(t).

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = C1 e^2t 1 1 + C2 e^t 2 1 + 11 -11 e^t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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