Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe. \lim _{r \rightarrow-3} \frac{r^{2}+2 r-3}{r^{2}+7 r+12}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{r\to -3}\frac{r^{2}+2r-3}{r^{2}+7r+12}.
As informações relevantes são:
O numerador é r^{2}+2r-3.
O denominador é r^{2}+7r+12.
O ponto onde a variável tende é r=-3.
Não vou resolver nada ainda; apenas listei o que o problema dá e o que se pede.
Passo 2
Vamos tentar simplificar a expressão fatorando numerador e denominador. Primeiro uma pequena aula prática sobre fatoração de quadráticas: para fatorar um polinômio da forma r^{2}+br+c procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Isso porque
r^{2}+br+c=(r+\alpha)(r+\beta)
quando \alpha+\beta=b e \alpha\beta=c.
Agora aplicando isso ao numerador r^{2}+2r-3: precisamos de dois números que somem 2 e multipliquem -3. Esses números são 3 e -1. Logo
r^{2}+2r-3=(r+3)(r-1).
Para o denominador r^{2}+7r+12: precisamos de dois números que somem 7 e multipliquem 12. Esses números são 3 e 4. Logo
r^{2}+7r+12=(r+3)(r+4).
Passo 3
Substituindo as fatorações na fração original obtemos
Agora atenção importante (explicação didática): o fator (r+3) aparece no numerador e no denominador. Para r\neq -3 podemos cancelar esse fator, pois dividir por (r+3) é válido quando ele não é zero. O ponto r=-3 é precisamente onde esse fator se anula, então a função original está indefinida em r=-3 (denominador zero) — isso é uma descontinuidade removível. Porém o limite quando r se aproxima de -3 só depende dos valores próximos a -3, não do valor exato no ponto.
Após cancelar (para r\neq -3) ficamos com a função simplificada
\frac{r-1}{r+4}.
Passo 4
Como a expressão simplificada \dfrac{r-1}{r+4} é contínua em r=-3 (denominador r+4 não é zero em -3), o limite da função original quando r\to -3 é igual ao valor da expressão simplificada em r=-3. Portanto avaliamos por substituição:
Pequeno reforço com um exemplo parecido para fixar: \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}. Fatore x^{2}-1=(x-1)(x+1), cancele x-1 (para x\neq1) e obtenha x+1. Como x+1 é contínua em 1, o limite é 1+1=2. A ideia é exatamente a mesma: fatorar, cancelar fator comum, avaliar a expressão simplificada.