Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
\lim _{r \rightarrow 1} \frac{r^{2}-r}{2 r^{2}+5 r-7}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando r tende a 1:
\lim_{r\to 1}\frac{r^{2}-r}{2r^{2}+5r-7}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função racional (quociente de polinômios).
  • O ponto de interesse é r=1.
  • Ao substituir r=1 diretamente na expressão obtemos numerador 1^{2}-1=0 e denominador 2\cdot1^{2}+5\cdot1-7=0, ou seja, a forma \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada para limites.

Passo 2

O que significa a forma \tfrac{0}{0} e por que não basta substituir?
A forma \tfrac{0}{0} indica que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando r\to1, então o valor do quociente não é imediatamente determinado pela substituição direta. Para resolver esse tipo de caso, uma técnica comum é fazer uma simplificação algébrica da expressão (por exemplo, fatorar e cancelar fatores em comum) para obter uma expressão equivalente para r\neq1 que possa ser avaliada em r=1.

Passo 3

Fatorar o numerador. O numerador r^{2}-r tem fator comum r, então:
r^{2}-r = r(r-1).

Passo 4

Fatorar o denominador. O denominador é o polinômio quadrático 2r^{2}+5r-7. Para fatorar, podemos achar as raízes usando a fórmula quadrática ou observar que r=1 zera o polinômio (já vimos que ao substituir dá zero), então (r-1) é um fator. Fatorando completamente:
2r^{2}+5r-7 = (r-1)(2r+7).
(Verificação rápida: expandindo (r-1)(2r+7) 2r^{2}+7r-2r-7=2r^{2}+5r-7.)

Passo 5

Reescrever a função usando as fatorações e cancelar o fator comum (r-1) (válido para r\neq1):
\frac{r^{2}-r}{2r^{2}+5r-7} = \frac{r(r-1)}{(r-1)(2r+7)} = \frac{r}{2r+7},\qquad\text{para }r\neq1.
Como o limite cuida apenas de r próximos de 1 (mas não necessariamente igual a 1), podemos calcular o limite da função simplificada \dfrac{r}{2r+7}.

Passo 6

Avaliar o limite da função simplificada substituindo r=1:
\lim_{r\to1}\frac{r}{2r+7}=\frac{1}{2\cdot1+7}=\frac{1}{9}.

Resposta

\dfrac{1}{9}

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