Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função racional (quociente de polinômios).
- O ponto de interesse é
. - Ao substituir
diretamente na expressão obtemos numerador e denominador , ou seja, a forma , que é uma forma indeterminada para limites.
Passo 2
O que significa a forma
e por que não basta substituir?
A forma indica que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
, então o valor do quociente não é imediatamente determinado pela substituição direta. Para resolver esse tipo de caso, uma técnica comum é fazer uma simplificação algébrica da expressão (por exemplo, fatorar e cancelar fatores em comum) para obter uma expressão equivalente para
que possa ser avaliada em
.
A forma
Passo 3
Fatorar o numerador. O numerador
tem fator comum
, então:
Passo 4
Fatorar o denominador. O denominador é o polinômio quadrático
. Para fatorar, podemos achar as raízes usando a fórmula quadrática ou observar que
zera o polinômio (já vimos que ao substituir dá zero), então
é um fator. Fatorando completamente:
(Verificação rápida: expandindo
dá
.)
Passo 5
Reescrever a função usando as fatorações e cancelar o fator comum
(válido para
):
Como o limite cuida apenas de
próximos de
(mas não necessariamente igual a
), podemos calcular o limite da função simplificada
.
Passo 6
Avaliar o limite da função simplificada substituindo
: