Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado o quociente
.\n - Pede: calcular
usando uma simplificação algébrica e dizer se o limite existe.\n
Observações claras extraídas do enunciado:\n - O numerador tem um fator
multiplicando .\n - O denominador é exatamente
.\n - Em
o denominador é zero, então a expressão original não está definida nesse ponto; por isso precisamos pensar em limite, não em substituição direta sem cuidado.
Passo 2
Ideia da simplificação e justificação: se um fator igual aparece no numerador e no denominador, para todos os
tais que esse fator não seja zero é permitido simplificá‑lo. Mais formalmente, para
vale
Aqui usei a propriedade básica da multiplicação e divisão:
quando
. Note que essa igualdade só é válida para
porque em
o passo
não está definido.
Passo 3
Interpretação do que fizemos: a função original coincide com a função simplificada
para todo
. Ou seja, a expressão tem uma descontinuidade removível em
: o valor da função original não está definido lá, mas os valores que ela toma ao se aproximar de
seguem a curva
.
Passo 4
Propriedade de limites e continuidade usada: polinômios são funções contínuas em todos os pontos. Isso significa que, para
,
Como a função original coincide com
em todos os pontos próximos de
(exceto em
exatamente), o limite pedido é igual ao limite de
.
Passo 5
Cálculo final substituindo em
:\n
Portanto o limite existe e vale
.