Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)\left(x^{2}+3\right)}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado o quociente \frac{(x+1)\left(x^{2}+3\right)}{x+1}.\n
  • Pede: calcular \lim_{x\to-1}\frac{(x+1)\left(x^{2}+3\right)}{x+1} usando uma simplificação algébrica e dizer se o limite existe.\n
    Observações claras extraídas do enunciado:\n
  • O numerador tem um fator (x+1) multiplicando \left(x^{2}+3\right).\n
  • O denominador é exatamente (x+1).\n
  • Em x=-1 o denominador é zero, então a expressão original não está definida nesse ponto; por isso precisamos pensar em limite, não em substituição direta sem cuidado.

Passo 2

Ideia da simplificação e justificação: se um fator igual aparece no numerador e no denominador, para todos os x tais que esse fator não seja zero é permitido simplificá‑lo. Mais formalmente, para x\neq-1 vale
\frac{(x+1)\left(x^{2}+3\right)}{x+1}=\left(\frac{x+1}{x+1}\right)\left(x^{2}+3\right)=1\cdot\left(x^{2}+3\right)=x^{2}+3.
Aqui usei a propriedade básica da multiplicação e divisão: \dfrac{a\cdot b}{a}=b quando a\neq0. Note que essa igualdade só é válida para x\neq-1 porque em x=-1 o passo \dfrac{x+1}{x+1}=1 não está definido.

Passo 3

Interpretação do que fizemos: a função original coincide com a função simplificada g(x)=x^{2}+3 para todo x\neq-1. Ou seja, a expressão tem uma descontinuidade removível em x=-1: o valor da função original não está definido lá, mas os valores que ela toma ao se aproximar de -1 seguem a curva g(x)=x^{2}+3.

Passo 4

Propriedade de limites e continuidade usada: polinômios são funções contínuas em todos os pontos. Isso significa que, para g(x)=x^{2}+3,
\lim_{x\to-1} g(x)=g(-1).
Como a função original coincide com g em todos os pontos próximos de -1 (exceto em -1 exatamente), o limite pedido é igual ao limite de g.

Passo 5

Cálculo final substituindo em g:\n
g(-1)=(-1)^{2}+3=1+3=4.
Portanto o limite existe e vale 4.

Resposta

4

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