Em cada item, diga qual é a dimensão do conjunto.
Intervalo de \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão, no sentido de variedade ou dimensão topológica, de um intervalo I\subseteq\mathbb{R}. Para isso, usamos a definição: um espaço topológico X tem dimensão n se todo ponto de X possui uma vizinhança homeomorfa a um aberto de \mathbb{R}^n.

Passo 2

Seja x\in I. Como I é um intervalo em \mathbb{R}, existe \varepsilon>0 tal que
U = (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap I
é uma vizinhança de x em I. Mas U é, por definição, um aberto de \mathbb{R}, logo é homeomorfo a si mesmo, ou seja a um aberto de \mathbb{R}^1. Portanto cada ponto de I tem vizinhança local de dimensão 1.

Resposta

A dimensão do intervalo de \mathbb{R} é 1.

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