Use a substituição hiperbólica x=a senh t para mostrar que
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\operatorname{senh}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C
(a) Use substituição trigonométrica para verificar que
\int_{0}^{x} \sqrt{a^{2}-t^{2}} d t=\frac{1}{2} a^{2} \operatorname{sen}^{-1}(x / a)+\frac{1}{2} x \sqrt{a^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas, que vou listar claramente para não perder o foco:
  1. Mostrar que, usando a substituição hiperbólica x=a\,\operatorname{senh} t,
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
  1. (Item (a)) Usando substituição trigonométrica, verificar que, para 0\le x\le a,
\int_{0}^{x}\sqrt{a^{2}-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}a^{2}\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}.
Informações dadas/assumidas que vamos usar: a>0 (para que \sqrt{x^{2}+a^{2}} e \sqrt{a^{2}-t^{2}} façam sentido nas manipulações); no item (a) o limite superior x satisfaz 0\le x\le a (isso garante \arcsin(x/a) real e \cos\theta\ge0 na substituição). Não vou resolver nada ainda — só deixar claro o que se pede e o que temos.

Passo 2

Vamos ao primeiro problema: vou usar a substituição hiperbólica proposta. Primeiro explico o que é essa substituição e por que é útil. A ideia é escolher x em função de t de modo que a expressão dentro da raiz fique simples. A substituição sugerida é
x = a\,\operatorname{senh} t.
Aqui \operatorname{senh} t é a função hiperbólica seno: por definição \operatorname{senh}t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}. Uma identidade importante que vamos usar é
\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{senh}^{2}t=1,
que implica \operatorname{senh}^{2}t+1=\operatorname{cosh}^{2}t. A vantagem é que x^{2}+a^{2} se transforma em múltiplo de \operatorname{cosh}^{2}t, que tem raiz muito simples.

Passo 3

Calculo dx e a raiz em termos de t. Diferenciando x=a\,\operatorname{senh}t obtemos
dx = a\,\operatorname{cosh}t\,dt,
pois \dfrac{d}{dt}\operatorname{senh}t=\operatorname{cosh}t. Agora escrevo a expressão dentro da raiz:
x^{2}+a^{2}=a^{2}\operatorname{senh}^{2}t+a^{2}=a^{2}\big(\operatorname{senh}^{2}t+1\big)=a^{2}\operatorname{cosh}^{2}t.
Como \operatorname{cosh}t\ge0 para todo t, temos
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}t}=a\,\operatorname{cosh}t.

Passo 4

Substituo x e dx na integral. A integral original fica
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\,\operatorname{cosh}t\,dt}{a\,\operatorname{cosh}t}=\int dt.
Perceba como a escolha da substituição cancelou tudo: ficou simplesmente \int dt, que é trivial de integrar.

Passo 5

Integrando e voltando à variável original. Integrando \int dt obtemos
t + C.
Agora precisamos expressar t em função de x. Como x=a\,\operatorname{senh}t, temos \operatorname{senh}t=\dfrac{x}{a}. O valor de t é justamente a função inversa do seno hiperbólico aplicada a x/a, isto é
t=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Portanto
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
que é o resultado pedido. (Observação didática: alternativamente, pode-se usar a fórmula fechada \operatorname{senh}^{-1}u=\ln\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big) se quiser escrever a primitiva em termos de logaritmos.)

Passo 6

Agora passo ao item (a). Vou explicar a ideia da substituição trigonométrica: quando aparece \sqrt{a^{2}-t^{2}}, é conveniente colocar t=a\sin\theta, porque \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 transforma a raiz em a\cos\theta, simplificando a integral. Consideramos 0\le x\le a, então podemos escolher \theta no intervalo [0,\pi/2] onde \cos\theta\ge0, o que evita ambiguidade no sinal da raiz.

Passo 7

Faço a substituição t=a\sin\theta. Então
dt = a\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{a^{2}-t^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}=a\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=a\cos\theta,
com \cos\theta\ge0 por nossa escolha de ramo. A integral indefinida correspondente seria
\int \sqrt{a^{2}-t^{2}}\,dt=\int a\cos\theta\cdot a\cos\theta\,d\theta=a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 8

Integro \cos^{2}\theta. Uso a identidade de ângulo duplo
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Assim
a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = a^{2}\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{a^{2}}{2}\int d\theta + \frac{a^{2}}{2}\int \cos 2\theta\,d\theta.
Integrando cada termo:
\frac{a^{2}}{2}\theta + \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{\sin 2\theta}{2} + C = \frac{a^{2}}{2}\theta + \frac{a^{2}}{4}\sin 2\theta + C.

Passo 9

Reescrevo \sin 2\theta em termos de \sin\theta e \cos\theta: \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta. Então
\frac{a^{2}}{4}\sin 2\theta = \frac{a^{2}}{4}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \frac{a^{2}}{2}\sin\theta\cos\theta.
Substituindo \sin\theta=\dfrac{t}{a} e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}{a} (essas expressões vem da substituição t=a\sin\theta), obtemos
\frac{a^{2}}{2}\sin\theta\cos\theta = \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{t}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}{a} = \frac{1}{2}t\sqrt{a^{2}-t^{2}}.
Portanto a primitiva indefinida em t é
\int \sqrt{a^{2}-t^{2}}\,dt = \frac{a^{2}}{2}\theta + \frac{1}{2}t\sqrt{a^{2}-t^{2}} + C,
onde \theta=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{t}{a}\right).

Passo 10

Agora aplico isso ao integral definido \displaystyle\int_{0}^{x}\sqrt{a^{2}-t^{2}}\,dt. Uso a primitiva encontrada e avalio entre t=0 e t=x. Para t qualquer usamos \theta=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{t}{a}\right). Assim
\left[\frac{a^{2}}{2}\theta + \frac{1}{2}t\sqrt{a^{2}-t^{2}}\right]_{t=0}^{t=x}.
Ao substituir t=x obtemos \theta=\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{x}{a}\right) e o segundo termo \dfrac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}. Ao substituir t=0 ambos os termos valem zero (pois \theta(0)=0 e t\sqrt{a^{2}-t^{2}}=0 em t=0). Portanto o resultado do integral definido é
\frac{1}{2}a^{2}\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}},
que é exatamente o que queríamos verificar.

Resposta

\operatorname{senh}^{-1}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C
\dfrac{1}{2}a^{2}\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+\dfrac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}

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