Use a substituição hiperbólica
senh
para mostrar que
(a) Use substituição trigonométrica para verificar que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas, que vou listar claramente para não perder o foco:
- Mostrar que, usando a substituição hiperbólica
,
- (Item (a)) Usando substituição trigonométrica, verificar que, para
,
Informações dadas/assumidas que vamos usar:
(para que
e
façam sentido nas manipulações); no item (a) o limite superior
satisfaz
(isso garante
real e
na substituição). Não vou resolver nada ainda — só deixar claro o que se pede e o que temos.
Passo 2
Vamos ao primeiro problema: vou usar a substituição hiperbólica proposta. Primeiro explico o que é essa substituição e por que é útil. A ideia é escolher
em função de
de modo que a expressão dentro da raiz fique simples. A substituição sugerida é
Aqui
é a função hiperbólica seno: por definição
. Uma identidade importante que vamos usar é
que implica
. A vantagem é que
se transforma em múltiplo de
, que tem raiz muito simples.
Passo 3
Calculo
e a raiz em termos de
. Diferenciando
obtemos
pois
. Agora escrevo a expressão dentro da raiz:
Como
para todo
, temos
Passo 4
Substituo
e
na integral. A integral original fica
Perceba como a escolha da substituição cancelou tudo: ficou simplesmente
, que é trivial de integrar.
Passo 5
Integrando e voltando à variável original. Integrando
obtemos
Agora precisamos expressar
em função de
. Como
, temos
. O valor de
é justamente a função inversa do seno hiperbólico aplicada a
, isto é
Portanto
que é o resultado pedido. (Observação didática: alternativamente, pode-se usar a fórmula fechada
se quiser escrever a primitiva em termos de logaritmos.)
Passo 6
Agora passo ao item (a). Vou explicar a ideia da substituição trigonométrica: quando aparece
, é conveniente colocar
, porque
transforma a raiz em
, simplificando a integral. Consideramos
, então podemos escolher
no intervalo
onde
, o que evita ambiguidade no sinal da raiz.
Passo 7
Faço a substituição
. Então
com
por nossa escolha de ramo. A integral indefinida correspondente seria
Passo 8
Integro
. Uso a identidade de ângulo duplo
Assim
Integrando cada termo:
Passo 9
Reescrevo
em termos de
e
:
. Então
Substituindo
e
(essas expressões vem da substituição
), obtemos
Portanto a primitiva indefinida em
é
onde
.
Passo 10
Agora aplico isso ao integral definido
. Uso a primitiva encontrada e avalio entre
e
. Para
qualquer usamos
. Assim
Ao substituir
obtemos
e o segundo termo
. Ao substituir
ambos os termos valem zero (pois
e
em
). Portanto o resultado do integral definido é
que é exatamente o que queríamos verificar.