Seja \alpha a curva plana de equação (x-1)^{2}+(y-7)^{2}=1. Determine, se houver, o(s) ponto(s) de interseção de \alpha com a reta s de equação (x, y)=\left(\frac{3}{2}, 10\right)+t(0,1), com t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha e a reta s e pede os pontos de interseção entre elas. Informações fornecidas:
\alpha:\\ (x-1)^{2}+(y-7)^{2}=1
s:\\ (x,y)=\left(\frac{3}{2},10\right)+t(0,1),\quad t\in\mathbb{R}
Perguntas explícitas: determinar, se houver, os pontos (x,y) que pertencem simultaneamente a \alpha e a s.

Passo 2

Interpretação da equação paramétrica da reta s: o vetor direção é (0,1), logo x é constante e y varia com t. Escrevemos as componentes:
x=\frac{3}{2},\qquad y=10+t.
Isto significa que qualquer ponto de s tem coordenada x=\frac{3}{2} e alguma coordenada y real.

Passo 3

Extraímos do círculo \alpha o centro e o raio para ajudar na intuição:
\text{centro } C=(1,7),\qquad \text{raio } r=1,
pois a equação (x-1)^{2}+(y-7)^{2}=1 é a forma padrão de um círculo centrado em (1,7) com raio 1.

Passo 4

Método de resolução (substituição simples): substituímos x=\frac{3}{2} da reta na equação do círculo e resolvemos para y.
Calculamos primeiro (x-1)^{2}:
\left(\frac{3}{2}-1\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Substituindo em \alpha:
\frac{1}{4}+(y-7)^{2}=1.

Passo 5

Resolvendo a equação para y:
(y-7)^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Tirando raiz quadrada (lembrando do sinal \pm):
y-7=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
y=7\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como x=\frac{3}{2}, obtemos os dois pontos de interseção:
\left(\frac{3}{2},\,7+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{3}{2},\,7-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Opcional: se quiser os parâmetros t correspondentes na reta s, lembrando y=10+t,
t_1=7+\frac{\sqrt{3}}{2}-10=-3+\frac{\sqrt{3}}{2},\quad t_2=7-\frac{\sqrt{3}}{2}-10=-3-\frac{\sqrt{3}}{2},
que são reais, confirmando que ambos os pontos estão na reta.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\,7+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
\left(\dfrac{3}{2},\,7-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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