Use substituição nas integrais a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}\,dx
usando substituição de variável. O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição, pois notamos que a derivada de e^{x}+1 aparece no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = e^{x} + 1.
Diferenciando, temos du = e^{x}\,dx. Nos limites: quando x=0, u = e^{0}+1 = 2; quando x=1, u = e^{1}+1 = e+1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, trocamos e^{x}\,dx por du e ajustamos os limites:
\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u=2}^{u=e+1}\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int u^{-2}\,du, usamos a fórmula
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad\text{para }n\neq -1.
No nosso caso n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}.

Passo 5

Aplicando o resultado aos limites de u:
\left[-\frac{1}{u}\right]_{2}^{\,e+1} = \Bigl(-\frac{1}{e+1}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2} - \frac{1}{e+1}.

Resposta

\frac{1}{2} - \frac{1}{e+1}.

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