Use substituição nas integrais a seguir.
\int_{-\pi / 2}^{0} \sin ^{7} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\pi/2}^{0} \sin^{7}x \,\cos x \,dx
usando o método de substituição. Vamos reconhecer que a derivada de \sin x é \cos x, o que sugere escolher u=\sin x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \sin x,\quad du = \cos x\,dx,
precisamos ajustar os limites:
x = -\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;u = \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1, \qquad x = 0\;\Rightarrow\;u = \sin(0) = 0.
Assim a integral vira
\int_{u=-1}^{0} u^{7}\,du.

Passo 3

Integramos em u:
\int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8}.
Avaliamo-os de -1 a 0:
\left.\frac{u^{8}}{8}\right|_{-1}^{0} = \frac{0^{8}}{8} - \frac{(-1)^{8}}{8} = 0 - \frac{1}{8} = -\frac{1}{8}.

Resposta

-\frac{1}{8}

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