Use substituição nas integrais a seguir.
\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x (substituição trigonométrica)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} \,dx
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece na área de um semicírculo de raio 1, e a técnica básica é usar
x = \sin\theta,\quad dx = \cos\theta\,d\theta,
pois \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = |\cos\theta|.

Passo 2

Fazendo x = \sin\theta temos
dx = \cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = |\cos\theta|.
Os limites em x são -1 e 1, então em \theta:
x = -1 \implies \sin\theta = -1 \implies \theta = -\tfrac{\pi}{2}, \quad x = 1 \implies \sin\theta = 1 \implies \theta = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

No intervalo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] vale \cos\theta\ge0, logo |\cos\theta|=\cos\theta. A integral vira
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\;\cos\theta\,d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos2\theta}{2}:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(1 + \cos2\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\Bigl[\theta + \tfrac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}.
Ao avaliar:
\theta\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \pi, \qquad \sin2\theta\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 0 - 0 = 0,
logo o resultado é \tfrac{1}{2}\cdot\pi = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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