Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin (y)

Passo 1

Temos a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{d x^{2}}=\sin(y)
que é uma EDO de segunda ordem não linear, mas que não depende de x explicitamente. Para resolvê-la, vamos usar a substituição
v=\frac{d y}{d x}\,,
de modo que
\frac{d^{2}y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d x}=\frac{d v}{d y}\,\frac{d y}{d x}=v\,\frac{d v}{d y}\,.

Passo 2

Substituindo na equação original, obtemos
v\,\frac{d v}{d y}=\sin(y)\,.
Isto nos conduz a uma equação de variáveis separáveis em v e y.

Passo 3

Integramos cada lado em relação à sua variável:
\int v\,d v=\int \sin(y)\,d y
resultando em
\frac{v^{2}}{2}=-\cos(y)+C_{1}\,,
onde C_{1} é uma constante arbitrária de integração.

Passo 4

Voltando à derivada dy/dx=v, isolamos essa razão:
\frac{d y}{d x}=v=\pm\sqrt{2\bigl(C_{1}-\cos(y)\bigr)}\,.
Agora separam-se as variáveis x e y.

Passo 5

Fazendo a separação de variáveis, obtemos a quadratura
\int d x=\pm\int \frac{d y}{\sqrt{2\bigl(C_{1}-\cos(y)\bigr)}}
e, ao integrar, surge a solução geral em forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x+C_{2}=\pm\int^{y}\frac{d\varphi}{\sqrt{2\bigl(C_{1}-\cos(\varphi)\bigr)}},
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

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