Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y^{3}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y^{3} = 0
usando a substituição v = \frac{dy}{dx}, de modo que
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituindo y'' = v\,\frac{dv}{dy} na equação original, fica
v\,\frac{dv}{dy} + y^{3} = 0.
Esta é uma equação de variáveis separáveis em v e y.

Passo 3

Separamos e integramos:
v\,dv = -\,y^{3}\,dy \quad\Longrightarrow\quad \int v\,dv = -\int y^{3}\,dy
\frac{v^{2}}{2} = -\frac{y^{4}}{4} + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} = C_{1}.

Passo 4

Voltando a v = \frac{dy}{dx}, obtemos
\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = 2C_{1} - \frac{y^{4}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{\,2C_{1} - \frac{y^{4}}{2}\,}.

Passo 5

Separamos de novo e integramos:
dx = \pm \frac{dy}{\sqrt{\,2C_{1} - \tfrac{y^{4}}{2}\,}} \quad\Longrightarrow\quad x + C_{2} = \pm \int \frac{dy}{\sqrt{\,2C_{1} - \frac{y^{4}}{2}\,}}.
Esta integral é uma integral elíptica de primeira espécie, e define implicitamente a solução.

Passo 6

Em termos de funções elípticas de Jacobi, pode‐se escrever a solução explícita como
y(x) \;=\;(2C_{1})^{\tfrac14}\,\mathrm{sn}\!\Bigl((2C_{1})^{\tfrac14}(x + C_{2}),\,\tfrac1{\sqrt{2}}\Bigr),
onde \mathrm{sn} é a função seno elíptico e C_{1},C_{2} são constantes de integração.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
x + C_{2} = \pm \int \frac{dy}{\sqrt{\,2C_{1} - \tfrac{y^{4}}{2}\,}},
ou explicitamente, em termos de funções elípticas de Jacobi,
y(x) = (2C_{1})^{\tfrac14}\,\mathrm{sn}\!\Bigl((2C_{1})^{\tfrac14}(x + C_{2}),\,\tfrac1{\sqrt{2}}\Bigr).

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