Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = y
usando a substituição v = \frac{dy}{dx}, de modo que y'' = \frac{dv}{dx}. Vamos empregar redução de ordem transformando em uma equação envolvendo v e y.

Passo 2

Definindo
v = \frac{dy}{dx},
temos por regra da cadeia
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
Substituindo em y''=y resulta
v\,\frac{dv}{dy} = y.

Passo 3

Separe variáveis e integre:
v\,dv = y\,dy.
Integrando ambos os lados,
\int v\,dv = \int y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{2} + C_{1}.
Multiplicando por 2,
v^{2} = y^{2} + C_{1}.

Passo 4

Retornando a v = \tfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{y^{2} + C_{1}}.
Novamente separe variáveis:
\frac{dy}{\sqrt{y^{2} + C_{1}}} = \pm dx.
Integrando,
\int \frac{dy}{\sqrt{y^{2} + C_{1}}} = \pm \int dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{arcsinh}\!\Bigl(\frac{y}{\sqrt{C_{1}}}\Bigr) = \pm x + C_{2}.

Passo 5

Isole y:
\frac{y}{\sqrt{C_{1}}} = \operatorname{sinh}\bigl(\pm x + C_{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \sqrt{C_{1}}\;\operatorname{sinh}\bigl(\pm x + C_{2}\bigr).
Renomeando constantes livres de modo mais usual (digamos A e B), chega-se à forma exponencial
y(x) = A\,e^{x} + B\,e^{-x},
que é a solução geral.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{x} + C_{2}\,e^{-x}.

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