Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0
usando a substituição v = \frac{dy}{dx}. Vamos então transformar essa equação numa de primeira ordem em v e y, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Definindo
v = \frac{dy}{dx},
pode-se usar a regra da cadeia para obter
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 3

Substituindo na EDO original, sobra
v\,\frac{dv}{dy} + y = 0
que a gente reorganiza como separável:
v\,dv = -\,y\,dy.

Passo 4

Agora integramos os dois lados:
\int v\,dv = -\int y\,dy
\frac{v^{2}}{2} = -\frac{y^{2}}{2} + C
ou seja
v^{2} + y^{2} = K,
com K=2C constante de integração.

Passo 5

Voltando a v=\frac{dy}{dx}, temos
\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} + y^{2} = K \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{K - y^{2}}.
Separamos e integramos:
\int \frac{dy}{\sqrt{K - y^{2}}} = \pm\int dx
\arcsin\!\Bigl(\frac{y}{\sqrt{K}}\Bigr) = \pm x + C_{1}.

Passo 6

Aplicando seno e renomeando as constantes A=\sqrt{K}, \varphi=\pm C_{1}, obtemos
y = A\sin(x + \varphi).
Essa forma é equivalente à combinação linear
y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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