Use a substituição z=\tan \frac{x}{2} para calcular as integrais abaixo.
\int \frac{\cos x}{\cos x \sin x+\sin x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\cos x}{\cos x\sin x+\sin x}\,dx
usando a substituição de Weierstrass z=\tan\frac{x}{2}.
Precisaremos das fórmulas
\cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2},\quad \sin x=\frac{2z}{1+z^2},\quad dx=\frac{2\,dz}{1+z^2}.

Passo 2

Substituindo na integral, o numerador fica
\cos x\,dx =\frac{1-z^2}{1+z^2}\,\frac{2\,dz}{1+z^2} =\frac{2(1-z^2)\,dz}{(1+z^2)^2},
e o denominador
\cos x\sin x+\sin x =\sin x\,(\cos x+1) =\frac{2z}{1+z^2}\,\Bigl(\frac{1-z^2}{1+z^2}+1\Bigr) =\frac{2z}{1+z^2}\,\frac{2}{1+z^2} =\frac{4z}{(1+z^2)^2}.

Passo 3

Portanto o integrando em z é
\frac{\displaystyle\frac{2(1-z^2)}{(1+z^2)^2}} {\displaystyle\frac{4z}{(1+z^2)^2}} =\frac{2(1-z^2)}{4z} =\frac{1-z^2}{2z} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{z}-z\Bigr).
A integral vira
\int \frac{\cos x}{\cos x\sin x+\sin x}\,dx =\frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{z}-z\Bigr)\,dz.

Passo 4

Calculando
\frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{z}-z\Bigr)\,dz =\frac{1}{2}\Bigl(\ln\lvert z\rvert-\frac{z^2}{2}\Bigr)+C =\frac{1}{2}\ln\lvert z\rvert-\frac{z^2}{4}+C.

Passo 5

Voltando a variável original z=\tan\frac{x}{2}, obtemos
\frac{1}{2}\ln\bigl\lvert\tan\frac{x}{2}\bigr\rvert -\frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2}+C.

Resposta

\int \frac{\cos x}{\cos x\sin x+\sin x}\,dx =\frac{1}{2}\ln\Bigl\lvert\tan\frac{x}{2}\Bigr\rvert -\frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2}+C.

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