Use a substituição z=\tan \frac{x}{2} para calcular as integrais abaixo.
\int \frac{d x}{1-\sin x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{1-\sin x}
usando a substituição de Weierstrass z=\tan\frac{x}{2}. Para isso vamos precisar das fórmulas
\sin x=\frac{2z}{1+z^2}, \quad \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}, \quad dx=\frac{2\,dz}{1+z^2}.

Passo 2

Reescrevemos o denominador em função de z:
1-\sin x =1-\frac{2z}{1+z^2} =\frac{1+z^2-2z}{1+z^2} =\frac{(z-1)^2}{1+z^2}.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
\frac{dx}{1-\sin x} =\frac{\displaystyle \frac{2\,dz}{1+z^2}}{\displaystyle \frac{(z-1)^2}{1+z^2}} =2\,\frac{dz}{(z-1)^2}.

Passo 4

Agora integramos em z:
2\int \frac{dz}{(z-1)^2} =2\left(-\frac{1}{z-1}\right)+C =-\frac{2}{z-1}+C.

Passo 5

Voltando a x com z=\tan\frac{x}{2}, ficamos com
-\frac{2}{z-1} =-\frac{2}{\tan\frac{x}{2}-1}
que pode também ser escrito como
\frac{2}{1-\tan\frac{x}{2}}+C.

Resposta

\int \frac{dx}{1-\sin x} =-\frac{2}{\tan\frac{x}{2}-1}+C.

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