Use substituições criativas, como z=y^{\prime}, z=y^{n}, y=u v, etc., para reduzir a equação:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}
O conteúdo é redução de ordem em EDOs. Vamos usar a substituição
z = \frac{dy}{dx}
para transformar em uma equação de primeira ordem para z(x).

Passo 2

Como z = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dz}{dx}.
Substituindo na equação original obtemos
\frac{dz}{dx} = z^{2},
que é uma EDO de primeira ordem separável em z.

Passo 3

Separe as variáveis e integre:
\frac{dz}{z^{2}} = dx.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dz}{z^{2}} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{z} = x + C_{1}.
Desse modo
z(x) = \frac{dy}{dx} = -\,\frac{1}{\,x + C_{1}\,}.

Passo 4

Agora integramos
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\,x + C_{1}\,}
para obter y(x). Fazendo
y(x) = \int -\frac{1}{x + C_{1}}\,dx = -\ln\bigl|x + C_{1}\bigr| + C_{2}.

Resposta

A solução geral da EDO \displaystyle y''=(y')^{2} é
y(x) = -\ln\bigl|x + C_{1}\bigr| + C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes de integração.

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