Use substituições criativas, como
, etc., para reduzir a equação:
Passo 1
O enunciado nos pede para reduzir a equação de segunda ordem
usando alguma substituição criativa. O conteúdo aqui é “redução de ordem” de uma EDO, ou seja, transformar essa equação de ordem 2 numa de ordem 1 à custa de uma boa mudança de variável (por exemplo,
e depois usar a regra da cadeia).
Passo 2
Definimos
de modo que
Substituindo na EDO original, ficamos com
Passo 3
Para eliminar a derivada em relação a
e passar a derivar em relação a
, usamos a regra da cadeia
Logo a equação vira
Passo 4
Como buscamos
, dividimos toda a equação por
:
Esta é uma EDO de primeira ordem e variável separável. Separamos e integramos:
onde
é constante.
Passo 5
Agora temos
que também é separável:
Chamando
, obtemos a forma mais simples da solução geral.
Resposta
A solução geral da equação é
ou equivalentemente
com
e
constantes de integração.