Use a tabela de Transformadas Inversas de Laplace para determinar
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace
. - A função no domínio de
fornecida é
- Informação implícita: queremos a função
tal que , assumindo .
Passo 2
Estratégia escolhida (razão do método) — decomposição em frações parciais.
- Para inverter a transformada de Laplace de uma função racional como
, o método mais direto é decompor em frações parciais cujas inversas estão na tabela de transformadas. - Observe que
. Assim os fatores do denominador são , e (este último é quadrático irreduzível sobre os reais). - A forma padrão da decomposição é
onde
são constantes a determinar.
- Explicando: usamos
e para fatores lineares distintos, e para o fator quadrático — isso garante termos cuja inversa aparece diretamente na tabela (ex.: , , , ).
Passo 3
Montar a equação para determinar os coeficientes e aplicar valores simples (método “cover-up”) para achar
e
.
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
- Escolhendo
(zerando termos com como fator) -> left: . O lado direito fica .
Portanto
- Escolhendo
-> left: . O lado direito fica .
Portanto
Passo 4
Determinar [C) e
comparando coeficientes (ou expandindo a identidade).
- Já sabemos
e . Vamos expandir o lado direito em potências de e igualar coeficientes aos do polinômio . - Expansão (mostrando os passos):
então
- Somando os termos cúbicos, quadráticos, lineares e constantes:
coeficiente de: .
coeficiente de: .
coeficiente de: .
termo constante:. - A identidade deve coincidir com
. Logo o sistema é - Substituindo
:da primeira equação:
.
da segunda: .
(a terceira serve como verificação: confirma certo). - Portanto
Passo 5
Escrever a decomposição final e preparar para aplicar a tabela de transformadas.
- Substituindo os coeficientes na decomposição:
- Vamos agora inverter cada parcela usando a tabela padrão de transformadas de Laplace.
Passo 6
Lembrar (e explicar) as transformadas básicas que usaremos.
- Transformadas e inversas importantes (tabela curta):
- Observação sobre sinais e constantes: multiplicadores constantes na forma
saem como na inversa.
Passo 7
Aplicar a inversa a cada termo da decomposição e somar (montando a solução no domínio do tempo).
- Para
: pela tabela , então - Para
: usando com , - Para
: separamos em duas frações .
Pela tabela: Assim - Somando todas as parcelas: