Use a tabela de Transformadas Inversas de Laplace para determinar mathcal{L}^{-1}(F(s)).
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s-4}{\left(s^{2}+s\right)\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\big(F(s)\big).
  • A função no domínio de s fornecida é
F(s)=\frac{2s-4}{\left(s^{2}+s\right)\left(s^{2}+1\right)}.
  • Informação implícita: queremos a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), assumindo t\ge 0.

Passo 2

Estratégia escolhida (razão do método) — decomposição em frações parciais.
  • Para inverter a transformada de Laplace de uma função racional como F(s), o método mais direto é decompor F(s) em frações parciais cujas inversas estão na tabela de transformadas.
  • Observe que s^{2}+s=s(s+1). Assim os fatores do denominador são s, s+1 e s^{2}+1 (este último é quadrático irreduzível sobre os reais).
  • A forma padrão da decomposição é
\frac{2s-4}{s(s+1)(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Explicando: usamos \dfrac{A}{s} e \dfrac{B}{s+1} para fatores lineares distintos, e \dfrac{Cs+D}{s^{2}+1} para o fator quadrático — isso garante termos cuja inversa aparece diretamente na tabela (ex.: 1/s, 1/(s+a), s/(s^{2}+1), 1/(s^{2}+1)).

Passo 3

Montar a equação para determinar os coeficientes e aplicar valores simples (método “cover-up”) para achar A e B.
  • Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
2s-4 = A(s+1)(s^{2}+1) + B s (s^{2}+1) + (Cs+D)s(s+1).
  • Escolhendo s=0 (zerando termos com s como fator) -> left: 2\cdot0-4=-4. O lado direito fica A(0+1)(0^{2}+1)=A.
    Portanto
A=-4.
  • Escolhendo s=-1 -> left: 2(-1)-4=-6. O lado direito fica B(-1)\big((-1)^{2}+1\big)=B(-1)\cdot 2=-2B.
    Portanto
-6 = -2B \quad\Rightarrow\quad B=3.

Passo 4

Determinar [C) e D comparando coeficientes (ou expandindo a identidade).
  • Já sabemos A=-4 e B=3. Vamos expandir o lado direito em potências de s e igualar coeficientes aos do polinômio 2s-4.
  • Expansão (mostrando os passos): (s+1)(s^{2}+1)=s^{3}+s^{2}+s+1,então A(s+1)(s^{2}+1)=A s^{3}+A s^{2}+A s + A.
B s (s^{2}+1)=B s^{3}+B s.
(Cs+D)s(s+1)=(Cs+D)(s^{2}+s)=C s^{3}+(C+D)s^{2}+D s.
  • Somando os termos cúbicos, quadráticos, lineares e constantes:
    coeficiente de s^{3}: A+B+C.
    coeficiente de s^{2}: A+(C+D).
    coeficiente de s: A+B+D.
    termo constante: A.
  • A identidade deve coincidir com 2s-4 = 0\cdot s^{3} + 0\cdot s^{2} + 2\cdot s + (-4). Logo o sistema é \begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] A+C+D=0,\\[4pt] A+B+D=2,\\[4pt] A=-4. \end{cases}
  • Substituindo A=-4\] e \(B=3:da primeira equação: -4+3+C=0 \Rightarrow C=1.
    da segunda: -4+1+D=0 \Rightarrow D=3.
    (a terceira serve como verificação: -4+3+3=2 confirma certo).
  • Portanto
A=-4,\quad B=3,\quad C=1,\quad D=3.]

Passo 5

Escrever a decomposição final e preparar para aplicar a tabela de transformadas.
  • Substituindo os coeficientes na decomposição:
\frac{2s-4}{s(s+1)(s^{2}+1)} = \frac{-4}{s} + \frac{3}{s+1} + \frac{s+3}{s^{2}+1}.
  • Vamos agora inverter cada parcela usando a tabela padrão de transformadas de Laplace.

Passo 6

Lembrar (e explicar) as transformadas básicas que usaremos.
  • Transformadas e inversas importantes (tabela curta): \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
\mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
  • Observação sobre sinais e constantes: multiplicadores constantes na forma k\cdot G(s) saem como k\cdot g(t) na inversa.

Passo 7

Aplicar a inversa a cada termo da decomposição e somar (montando a solução no domínio do tempo).
  • Para \dfrac{-4}{s}: pela tabela \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-4}{s}\right\} = -4.
  • Para \dfrac{3}{s+1}: usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at} com a=1, \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s+1}\right\}=3e^{-t}.
  • Para \dfrac{s+3}{s^{2}+1}: separamos em duas frações \dfrac{s}{s^{2}+1}+\dfrac{3}{s^{2}+1}.
    Pela tabela: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.Assim \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+3}{s^{2}+1}\right\}=\cos t + 3\sin t.
  • Somando todas as parcelas: f(t)= -4 + 3e^{-t} + \cos t + 3\sin t,\qquad t\ge 0.

Resposta

-4 + 3e^{-t} + \cos t + 3\sin t

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