Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos (2 x) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+2y'+5y=4e^{-x}\cos(2x),\\[4pt] y(0)=1,\; y'(0)=0. \end{cases}
Perguntas que precisamos responder:
  • Encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea.
  • Determinar as constantes da solução usando as condições iniciais e apresentar a solução particular que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=0.
Informações relevantes dadas:
  • Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo é 4e^{-x}\cos(2x).
  • Condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.]

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada
y''+2y'+5y=0.
Formo a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^{2}+2r+5=0.
Resolvo essa quadrática: o discriminante é \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot5=4-20=-16. Assim as raízes são
r=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
Para raízes complexas conjugadas -1\pm 2i, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 3

Escolher um método para achar uma solução particular y_{p} da equação completa.
O termo forçante é 4e^{-x}\cos(2x). Observação importante (ressonância): o fator exponencial-complexo correspondente é e^{(-1+2i)x}, e -1+2i é exatamente uma raiz da equação característica da homogênea. Isso significa que a tentativa usual e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x) falha por ressonância; devemos multiplicar por x.
Para simplificar contas uso o truque do número complexo: escrevo o forçante como parte real de 4e^{(-1+2i)x}. Procuro uma solução complexa z_{p} de
\mathcal{L}[z_{p}]=4e^{(-1+2i)x},
onde \mathcal{L} é o operador linear \mathcal{L}=D^{2}+2D+5 (com D=\tfrac{d}{dx}). Por causa da ressonância tento
z_{p}(x)=xK e^{rx},\qquad r=-1+2i,
com K constante complexa a determinar.
Há uma fórmula útil: para o polinômio característico p(r)=r^{2}+2r+5 vale
\mathcal{L}\big[xK e^{rx}\big]=p(r)\,xK e^{rx}+p'(r)\,K e^{rx}.
Como p(r)=0 (r é raiz), o primeiro termo some e resta
\mathcal{L}\big[xK e^{rx}\big]=p'(r)\,K e^{rx}.
Queremos que isso seja igual a 4e^{rx}. Logo precisamos de
p'(r)\,K=4 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{4}{p'(r)}.

Passo 4

Calcular p'(r). Temos p(r)=r^{2}+2r+5, então
p'(r)=2r+2=2(r+1).
Para r=-1+2i segue r+1=2i, logo
p'(r)=2\cdot 2i=4i.
Assim
K=\frac{4}{4i}=\frac{1}{i}=-i.
Portanto a solução complexa particular é
z_{p}(x)=xK e^{rx}= -i\,x e^{(-1+2i)x}.
A solução real particular y_{p} é a parte real de z_{p}. Escrevo
z_{p}(x)=-i\,x e^{-x}e^{i2x}=x e^{-x}\big(-i(\cos2x+i\sin2x)\big)=x e^{-x}\big(\sin2x - i\cos2x\big).
A parte real é, portanto,
y_{p}(x)=x e^{-x}\sin(2x).

Passo 5

Agora escrevo a solução geral da equação não homogênea somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+x e^{-x}\sin(2x).

Passo 6

Impor as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avalio y(0). Como e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0, e o termo com x anula-se em 0, temos
y(0)=C_{1}=1.
Logo C_{1}=1.

Passo 7

Calcular y'(x) e usar y'(0)=0.
Vou derivar cada parcela. Para y_{h} (com C_{1}=1 ainda deixo C_{2} simbólico):
y_{h}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x\big).
Derivando (produto e derivadas de seno/cosseno):
y_{h}'(x)=e^{-x}\big((-C_{1}+2C_{2})\cos2x+(-C_{2}-2C_{1})\sin2x\big).
Para y_{p}(x)=x e^{-x}\sin2x uso produto:
y_{p}'(x)=e^{-x}\big((1-x)\sin2x+2x\cos2x\big).
Somando,
y'(x)=e^{-x}\Big((-C_{1}+2C_{2})\cos2x+(-C_{2}-2C_{1})\sin2x+(1-x)\sin2x+2x\cos2x\Big).
Agora avalio em x=0. Em x=0 temos \cos0=1, \sin0=0, e termos com x desaparecem, então
y'(0)=(-C_{1}+2C_{2})+0.
A condição y'(0)=0
-C_{1}+2C_{2}=0\quad\Rightarrow\quad 2C_{2}=C_{1}.
Como C_{1}=1, segue C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=\tfrac{1}{2} obtemos a solução final:
y(x)=e^{-x}\Big(\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)\Big)+x e^{-x}\sin(2x).
Podemos também escrever de forma mais compacta:
y(x)=e^{-x}\Big(\cos(2x)+\big(x+\tfrac{1}{2}\big)\sin(2x)\Big).

Resposta

y(x)=e^{-x}\Big(\cos(2x)+\big(x+\tfrac{1}{2}\big)\sin(2x)\Big)

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