Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Perguntas que precisamos responder:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea.
- Determinar as constantes da solução usando as condições iniciais e apresentar a solução particular que satisfaz
e .
Informações relevantes dadas:
- Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo é
. - Condições iniciais
e .]
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada
Formo a equação característica substituindo
:
Resolvo essa quadrática: o discriminante é
. Assim as raízes são
Para raízes complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Escolher um método para achar uma solução particular
da equação completa.
O termo forçante é . Observação importante (ressonância): o fator exponencial-complexo correspondente é
, e
é exatamente uma raiz da equação característica da homogênea. Isso significa que a tentativa usual
falha por ressonância; devemos multiplicar por
.
O termo forçante é
Para simplificar contas uso o truque do número complexo: escrevo o forçante como parte real de
. Procuro uma solução complexa
de
onde
é o operador linear
(com
). Por causa da ressonância tento
com
constante complexa a determinar.
Há uma fórmula útil: para o polinômio característico
vale
Como
(r é raiz), o primeiro termo some e resta
Queremos que isso seja igual a
. Logo precisamos de
Passo 4
Calcular
. Temos
, então
Para
segue
, logo
Assim
Portanto a solução complexa particular é
A solução real particular
é a parte real de
. Escrevo
A parte real é, portanto,
Passo 5
Agora escrevo a solução geral da equação não homogênea somando homogênea e particular:
Passo 6
Impor as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro avalio
. Como
,
,
, e o termo com
anula-se em
, temos
Logo
.
Passo 7
Calcular
e usar
.
Vou derivar cada parcela. Para
(com
ainda deixo
simbólico):
Derivando (produto e derivadas de seno/cosseno):
Para
uso produto:
Somando,
Agora avalio em
. Em
temos
,
, e termos com
desaparecem, então
A condição
dá
Como
, segue
.
Passo 8
Substituindo
e
obtemos a solução final:
Podemos também escrever de forma mais compacta: