Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
Passo 1
Vou descrever claramente o que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- A função é uma combinação linear de quatro termos:
, , e . - Posso usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada da soma é a soma das transformadas e constantes fatoram para fora.
- Vou precisar das transformadas básicas para
, e constantes.
Passo 2
Apresentar as fórmulas básicas que vou usar (e explicar cada símbolo).
- A transformada de Laplace é definida por
onde
é a variável complexa (na prática, aqui consideramos
real e grande o suficiente para a integral convergir).
- Fórmula para exponencial deslocada: para todo
,
válido para
. Aqui cada símbolo significa:
é o expoente da exponencial,
é a variável de Laplace, e a condição indica onde a integral converge.
- Fórmula para potência
com inteiro não-negativo:
válido para
. Aqui
é o fatorial de
.
- Fórmula para constante
:
válido para
.
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Passo 3
Aplicar a linearidade ao problema, escrevendo a transformada como soma das transformadas dos termos:
Expliquei: apenas factorizei cada coeficiente (6,
, 2,
) para fora da transformada.
Passo 4
Calcular cada termo separadamente usando as fórmulas do Passo 2.
- Para
: aqui na fórmula da exponencial, então
Multiplicando por
dá
- Para
: usar . Como há sinal negativo,
- Para
: usar . Multiplicando por dá
- Para
: usar . Multiplicando por dá
Passo 5
Somar os resultados obtidos no passo anterior:
Passo 6
Discutir a região de convergência (onde a transformada é válida): os termos envolvendo potências de
exigem
; o termo
exige
. A interseção dessas condições é
. Então a expressão obtida é válida para
.