Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathcal{L}\left\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\right\}

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\mathcal{L}\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\}.
As informações relevantes são:
  • A função é uma combinação linear de quatro termos: 6 e^{-3 t}, -t^{2}, 2 t e -8.
  • Posso usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada da soma é a soma das transformadas e constantes fatoram para fora.
  • Vou precisar das transformadas básicas para e^{at}, t^{n} e constantes.

Passo 2

Apresentar as fórmulas básicas que vou usar (e explicar cada símbolo).
  • A transformada de Laplace é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, aqui consideramos s real e grande o suficiente para a integral convergir).
  • Fórmula para exponencial deslocada: para todo a\in\mathbb{C},
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válido para \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a). Aqui cada símbolo significa: a é o expoente da exponencial, s é a variável de Laplace, e a condição indica onde a integral converge.
  • Fórmula para potência t^{n} com n inteiro não-negativo:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui n! é o fatorial de n.
  • Fórmula para constante c:
\mathcal{L}\{c\}(s)=\frac{c}{s},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 3

Aplicar a linearidade ao problema, escrevendo a transformada como soma das transformadas dos termos:
\mathcal{L}\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\}(s) =6\,\mathcal{L}\{e^{-3 t}\}(s)-\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)+2\,\mathcal{L}\{t\}(s)-8\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Expliquei: apenas factorizei cada coeficiente (6, -1, 2, -8) para fora da transformada.

Passo 4

Calcular cada termo separadamente usando as fórmulas do Passo 2.
  1. Para 6 e^{-3t}: aqui a=-3 na fórmula da exponencial, então
\mathcal{L}\{e^{-3 t}\}(s)=\frac{1}{s-(-3)}=\frac{1}{s+3}.
Multiplicando por 6
6\,\mathcal{L}\{e^{-3 t}\}(s)=\frac{6}{s+3}.
  1. Para -t^{2}: usar \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}}. Como há sinal negativo,
-\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=-\frac{2}{s^{3}}.
  1. Para 2t: usar \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}. Multiplicando por 2
2\,\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{2}{s^{2}}.
  1. Para -8: usar \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}. Multiplicando por -8
-8\,\mathcal{L}\{1\}(s)=-\frac{8}{s}.

Passo 5

Somar os resultados obtidos no passo anterior:
\mathcal{L}\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\}(s) =\frac{6}{s+3}-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{8}{s}.

Passo 6

Discutir a região de convergência (onde a transformada é válida): os termos envolvendo potências de t exigem \operatorname{Re}(s)>0; o termo e^{-3t} exige \operatorname{Re}(s)>-3. A interseção dessas condições é \operatorname{Re}(s)>0. Então a expressão obtida é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{s+3}-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{8}{s}\quad ( \operatorname{Re}(s)>0 )

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