Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede a transformada de Laplace da função
- Informação extra dada: posso usar a tabela de transformadas e a linearidade da transformada de Laplace.
- Objetivo final: obter uma expressão fechada para
em termos de .
Passo 2
Lembrete da definição e propriedade básica que vamos usar (explicação didática e direta).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(satisfazendo condições de convergência),
Aqui
é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de
suficientemente grandes.
- Linearidade (ferramenta principal): para quaisquer constantes
e funções ,
Isso permite tratar cada termo separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Primeiro termo:
.
- Fórmula geral (tabela / cálculo): para
,
Aqui
é a função Gama; para inteiro
vale
.
- Aplicando com
: . Portanto
válido para
.
(Explicação curta do porquê: usando a substituição
na integral obtém-se
.)
Passo 4
Segundo termo:
.
- Primeiro, a transformada de
(caso sem exponencial): pela fórmula com ,
para
.
- Propriedade do deslocamento exponencial (shifting): se
, então para qualquer
Isto vem direto da definição:
- Aplicando com
e : como , obtemos
válido para
(porque foi deslocado).
Passo 5
Terceiro termo:
.
- Transformada padrão de
: para ,
válido para
.
- Aplicando a propriedade de deslocamento com
e : substitui-se por na transformada de . Assim
válido para
(a região de convergência é deslocada para a direita pelo termo
).
Passo 6
Juntando os três termos por linearidade.
Usando a linearidade:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 7
Observação sobre região de validade (importante na prova):
- O termo com maior exigência de convergência é o que tem
, que exige . - Assim a expressão obtida é válida no domínio
.