Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathcal{L}\left\{t^{3}-t e^{t}+e^{4 t} \cos t\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede a transformada de Laplace da função
t^{3}-t e^{t}+e^{4 t}\cos t .
  • Informação extra dada: posso usar a tabela de transformadas e a linearidade da transformada de Laplace.
  • Objetivo final: obter uma expressão fechada para \mathcal{L}\{t^{3}-t e^{t}+e^{4 t}\cos t\}(s) em termos de s.

Passo 2

Lembrete da definição e propriedade básica que vamos usar (explicação didática e direta).
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (satisfazendo condições de convergência),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de \Re(s) suficientemente grandes.
  • Linearidade (ferramenta principal): para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Isso permite tratar cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Primeiro termo: \mathcal{L}\{t^{3}\}.
  • Fórmula geral (tabela / cálculo): para n>-1,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}t^{n}\,dt=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}.
Aqui \Gamma é a função Gama; para inteiro n vale \Gamma(n+1)=n!.
  • Aplicando com n=3: \Gamma(4)=3!=6. Portanto
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{6}{s^{4}},
válido para \Re(s)>0.
(Explicação curta do porquê: usando a substituição u=st na integral obtém-se 1/s^{n+1}\int_0^\infty e^{-u}u^n du = \Gamma(n+1)/s^{n+1}.)

Passo 4

Segundo termo: \mathcal{L}\{t e^{t}\}.
  • Primeiro, a transformada de t (caso sem exponencial): pela fórmula com n=1,
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},
para \Re(s)>0.
  • Propriedade do deslocamento exponencial (shifting): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então para qualquer a\in\mathbb{R}
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Isto vem direto da definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-s t}e^{a t}f(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
  • Aplicando com f(t)=t e a=1: como \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2}, obtemos
\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}},
válido para \Re(s)>1 (porque foi deslocado).

Passo 5

Terceiro termo: \mathcal{L}\{e^{4 t}\cos t\}.
  • Transformada padrão de \cos(bt): para b\ge0,
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
válido para \Re(s)>0.
  • Aplicando a propriedade de deslocamento com a=4 e b=1: substitui-se s por s-4 na transformada de \cos t. Assim
\mathcal{L}\{e^{4 t}\cos t\}(s)=\frac{s-4}{(s-4)^{2}+1},
válido para \Re(s)>4 (a região de convergência é deslocada para a direita pelo termo e^{4t}).

Passo 6

Juntando os três termos por linearidade.
Usando a linearidade:
\mathcal{L}\{t^{3}-t e^{t}+e^{4 t}\cos t\}(s) =\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)-\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)+\mathcal{L}\{e^{4 t}\cos t\}(s).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}\{t^{3}-t e^{t}+e^{4 t}\cos t\}(s) =\frac{6}{s^{4}}-\frac{1}{(s-1)^{2}}+\frac{s-4}{(s-4)^{2}+1}.

Passo 7

Observação sobre região de validade (importante na prova):
  • O termo com maior exigência de convergência é o que tem e^{4t}, que exige \Re(s)>4.
  • Assim a expressão obtida é válida no domínio \Re(s)>4.

Resposta

\frac{6}{s^{4}}-\frac{1}{(s-1)^{2}}+\frac{s-4}{(s-4)^{2}+1}

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