Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{5-e^{2 t}+6 t^{2}\right}
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
5 - e^{2t} + 6t^{2}.
Informações dadas:
A função a transformar é f(t)=5 - e^{2t} + 6t^{2}.
Não há imagem ou dado extra.
O objetivo é calcular \mathscr{L}\{5 - e^{2t} + 6t^{2}\}.
Passo 2
Vou lembrar a definição e a propriedade que vou usar (isso é o básico que cai direto na prova).
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida em t\ge0),
onde s é a variável complexa da transformada; nas contas manuais normalmente exigimos \operatorname{Re}(s) grande o suficiente para a integral convergir.
Linearidade da transformada (ferramenta chave aqui): para constantes a,b e funções f,g,
Fazendo integração por partes com u=t^{2}, dv=e^{-s t}dt (logo du=2t\,dt, v=-\frac{1}{s}e^{-s t}):
I=\left.-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira vale 0 se \operatorname{Re}(s)>0. Para J=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt repete-se por partes e obtém-se J=\dfrac{1}{s^{2}}. Assim
Indico também a região de convergência: os termos individuais exigem \operatorname{Re}(s)>0 para os termos com 1 e t^{2}, e \operatorname{Re}(s)>2 para e^{2t}. A interseção é \operatorname{Re}(s)>2. Portanto a expressão é válida para \operatorname{Re}(s)>2.