Calcular as integrais em coordenadas cilíndricas:
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2-r^{2}}} \int_{r} d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla em coordenadas cilíndricas
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2-r^{2}}}\int_{r} dz\; r\,dr\,d\theta.
Precisamos calcular esse valor. Informações relevantes que o enunciado fornece (peguei tudo da própria integral):
  • O ângulo \theta varia de 0 a 2\pi.
  • Há um limite envolvendo \sqrt{2-r^{2}} e o valor r que parecem ser os limites de z.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas aparece como r\,dz\,dr\,d\theta.
    A tarefa é avaliar a integral tripla (assumindo que os limites para z são z=r como limite inferior e z=\sqrt{2-r^{2}} como limite superior) e determinar corretamente os limites de r que fazem sentido.

Passo 2

Primeiro identificar corretamente os limites de integração em r. Para que a faixa de z faça sentido, o limite inferior deve ser menor ou igual ao limite superior:
r \le \sqrt{2-r^{2}}.
Como ambos os lados são não-negativos (lembre que r\ge 0 em coordenadas cilíndricas), podemos elevar ao quadrado sem perigo:
r^{2} \le 2 - r^{2}.
Isso dá
2r^{2} \le 2 \quad\Rightarrow\quad r^{2} \le 1 \quad\Rightarrow\quad 0 \le r \le 1.
Portanto o intervalo correto para r é [0,1].

Passo 3

Interpretação rápida das superfícies (útil para intuição):
  • z=r é um cone reto que sobe com inclinação 45^\circ (no sistema com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
  • z=\sqrt{2-r^{2}} é a metade superior da esfera de raio \sqrt{2} (pois z^{2}+r^{2}=2).
    A região é o volume entre esse cone e a hemisfera superior, com r variando de 0 a 1 e \theta completo.

Passo 4

Reescrevendo a integral com os limites corretos:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{\sqrt{2-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Aqui o integrando é 1 (volume), e o fator r vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Integrar primeiro em z (a integral interna é simples):
\int_{r}^{\sqrt{2-r^{2}}} dz = \sqrt{2-r^{2}} - r.
Multiplicando pelo fator r obtemos a integral em r:
\int_{0}^{1} \bigl(r\sqrt{2-r^{2}} - r^{2}\bigr)\,dr.

Passo 6

A integral total separa o fator angular, pois nada depende de \theta:
I = \int_{0}^{2\pi} d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{1} \bigl(r\sqrt{2-r^{2}} - r^{2}\bigr)\,dr = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(r\sqrt{2-r^{2}} - r^{2}\bigr)\,dr.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} r\sqrt{2-r^{2}}\,dr por substituição. Faça u=2-r^{2}, então du=-2r\,dr, logo r\,dr = -\tfrac{1}{2}du. Quando r=0 temos u=2; quando r=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} r\sqrt{2-r^{2}}\,dr = -\tfrac{1}{2}\int_{2}^{1} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} = \tfrac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \tfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} r^{2}\,dr (fácil):
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left[\tfrac{1}{3}r^{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.

Passo 9

Substituir os resultados na integral radial:
\int_{0}^{1} \bigl(r\sqrt{2-r^{2}} - r^{2}\bigr)\,dr = \tfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-2\bigr) = \tfrac{2}{3}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr).
Multiplicando pelo fator 2\pi do ângulo:
I = 2\pi \cdot \tfrac{2}{3}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr) = \tfrac{4\pi}{3}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)

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