Calcular as integrais em coordenadas cilíndricas:
Passo 1
O enunciado dá a integral tripla em coordenadas cilíndricas
Precisamos calcular esse valor. Informações relevantes que o enunciado fornece (peguei tudo da própria integral):
- O ângulo
varia de a . - Há um limite envolvendo
e o valor que parecem ser os limites de . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas aparece como
.
A tarefa é avaliar a integral tripla (assumindo que os limites parasão como limite inferior e como limite superior) e determinar corretamente os limites de que fazem sentido.
Passo 2
Primeiro identificar corretamente os limites de integração em
. Para que a faixa de
faça sentido, o limite inferior deve ser menor ou igual ao limite superior:
Como ambos os lados são não-negativos (lembre que
em coordenadas cilíndricas), podemos elevar ao quadrado sem perigo:
Isso dá
Portanto o intervalo correto para
é
.
Passo 3
Interpretação rápida das superfícies (útil para intuição):
-
é um cone reto que sobe com inclinação (no sistema com ). -
é a metade superior da esfera de raio (pois ).
A região é o volume entre esse cone e a hemisfera superior, comvariando de a e completo.
Passo 4
Reescrevendo a integral com os limites corretos:
Aqui o integrando é
(volume), e o fator
vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Integrar primeiro em
(a integral interna é simples):
Multiplicando pelo fator
obtemos a integral em
:
Passo 6
A integral total separa o fator angular, pois nada depende de
:
Passo 7
Calcular
por substituição. Faça
, então
, logo
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Integrando:
Passo 8
Calcular
(fácil):
Passo 9
Substituir os resultados na integral radial:
Multiplicando pelo fator
do ângulo: