Calcule todas as determinações das seguintes potências:
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as determinações (todas as possíveis) das quatro potências complexas:
Informações dadas (os quatro números complexos como bases e o expoente igual a
) e o que se pede (todas as determinações — isto é, leve em conta a multivalência do logaritmo complexo).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para
e qualquer
definimos as determinações de
por
onde
é o logaritmo complexo multivalorado
Aqui
é o módulo de
e
é o argumento principal de
(por exemplo no intervalo
). Essa multivalência aparece porque um mesmo ponto no plano complexo tem argumentos que diferem por múltiplos inteiros de
.
Passo 3
Aplicando para o caso especial
: para
com
e
(princ.), as determinações de
são
Separei a parte real e imaginária do expoente: a parte real é
(que determina o módulo) e a parte imaginária é
(que determina o argumento do número resultante). Em forma multiplicativa:
Isto é a fórmula que vamos aplicar em cada base; vou calcular
e
para cada número.
Passo 4
Cálculo para
.
- Módulo:
- Argumento principal:
- Aplicando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 5
Cálculo para
.
- Módulo:
- Argumento principal:
- Aplicando a fórmula:
Ou seja, usando
:
Passo 6
Cálculo para
.
- Módulo:
- Argumento principal:
- Aplicando a fórmula:
Ou seja,
Passo 7
Cálculo para
.
- Módulo:
- Argumento principal:
pois
e a parte imaginária é negativa (quadrante IV).
- Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal:
Passo 8
Pequena interpretação para fixar a ideia (exemplo numérico): cada conjunto acima dá infinitas determinações indexadas por
. Para
obtém-se a “determinação principal” (usando o argumento principal), e
gera as outras determinações multiplicando o módulo por
(ou
com sinal dependendo do sinal de
), enquanto o argumento do número resultante permanece
(mod
).