Calcule todas as determinações das seguintes potências:
(1+i)^{i} ; \quad(1-i)^{i} ; \quad(\sqrt{3}+i)^{i} ; \quad(1-i \sqrt{3})^{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as determinações (todas as possíveis) das quatro potências complexas:
(1+i)^{i},\qquad (1-i)^{i},\qquad (\sqrt{3}+i)^{i},\qquad (1-i\sqrt{3})^{i}.
Informações dadas (os quatro números complexos como bases e o expoente igual a \,i) e o que se pede (todas as determinações — isto é, leve em conta a multivalência do logaritmo complexo).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para z\neq0 e qualquer w\in\mathbb{C} definimos as determinações de z^{w} por
z^{w}=\exp\!\big(w\Log z\big),
onde \Log z é o logaritmo complexo multivalorado
\Log z=\ln|z|+i\big(\Arg z+2\pi k\big),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aqui |z| é o módulo de z e \Arg z é o argumento principal de z (por exemplo no intervalo (-\pi,\pi]). Essa multivalência aparece porque um mesmo ponto no plano complexo tem argumentos que diferem por múltiplos inteiros de 2\pi.

Passo 3

Aplicando para o caso especial w=i: para z=re^{i\theta} com r>0 e \theta=\Arg z (princ.), as determinações de z^{i} são
z^{i}=\exp\!\big(i(\ln r+i(\theta+2\pi k))\big) =\exp\!\big(i\ln r-(\theta+2\pi k)\big).
Separei a parte real e imaginária do expoente: a parte real é -(\theta+2\pi k) (que determina o módulo) e a parte imaginária é \ln r (que determina o argumento do número resultante). Em forma multiplicativa:
z^{i}=\mathrm{e}^{-(\theta+2\pi k)}\;\mathrm{e}^{\,i\ln r},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto é a fórmula que vamos aplicar em cada base; vou calcular r e \theta para cada número.

Passo 4

Cálculo para z=1+i.
  • Módulo:
r=|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento principal:
\theta=\Arg(1+i)=\arctan\!\left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}.
  • Aplicando a fórmula:
(1+i)^{i}=\mathrm{e}^{-\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\;\mathrm{e}^{\,i\ln\!\sqrt{2}},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo \ln\!\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\ln 2:
(1+i)^{i}=\left\{\,\mathrm{e}^{-\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\frac{1}{2}\ln 2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 5

Cálculo para z=1-i.
  • Módulo:
r=|1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento principal:
\theta=\Arg(1-i)=\arctan\!\left(\frac{-1}{1}\right)=-\frac{\pi}{4}.
  • Aplicando a fórmula:
(1-i)^{i}=\mathrm{e}^{-\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\;\mathrm{e}^{\,i\ln\!\sqrt{2}},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, usando \ln\!\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\ln 2:
(1-i)^{i}=\left\{\,\mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{4}-2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\frac{1}{2}\ln 2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 6

Cálculo para z=\sqrt{3}+i.
  • Módulo:
r=|\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
  • Argumento principal:
\theta=\Arg(\sqrt{3}+i)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
  • Aplicando a fórmula:
(\sqrt{3}+i)^{i}=\mathrm{e}^{-\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)}\;\mathrm{e}^{\,i\ln 2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja,
(\sqrt{3}+i)^{i}=\left\{\,\mathrm{e}^{-\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\ln 2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 7

Cálculo para z=1-i\sqrt{3}.
  • Módulo:
r=|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2.
  • Argumento principal:
\theta=\Arg(1-i\sqrt{3})=\arctan\!\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right)=-\frac{\pi}{3},
pois 1>0 e a parte imaginária é negativa (quadrante IV).
  • Aplicando a fórmula:
(1-i\sqrt{3})^{i}=\mathrm{e}^{-\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)}\;\mathrm{e}^{\,i\ln 2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Simplificando o sinal:
(1-i\sqrt{3})^{i}=\left\{\,\mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{3}-2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\ln 2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 8

Pequena interpretação para fixar a ideia (exemplo numérico): cada conjunto acima dá infinitas determinações indexadas por k\in\mathbb{Z}. Para k=0 obtém-se a “determinação principal” (usando o argumento principal), e k\neq0 gera as outras determinações multiplicando o módulo por \mathrm{e}^{-2\pi k} (ou \mathrm{e}^{-2\pi k} com sinal dependendo do sinal de \theta), enquanto o argumento do número resultante permanece \ln r (mod 2\pi).

Resposta

\displaystyle (1+i)^{i}=\left\{\mathrm{e}^{-\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\frac{1}{2}\ln 2}:\;k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle (1-i)^{i}=\left\{\mathrm{e}^{\left(\tfrac{\pi}{4}-2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\frac{1}{2}\ln 2}:\;k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle (\sqrt{3}+i)^{i}=\left\{\mathrm{e}^{-\left(\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\ln 2}:\;k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle (1-i\sqrt{3})^{i}=\left\{\mathrm{e}^{\left(\tfrac{\pi}{3}-2\pi k\right)}\mathrm{e}^{\,i\ln 2}:\;k\in\mathbb{Z}\right\}

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