Suponha uma camada de cargas com distribuição uniforme na atmosfera de Rio Branco. Na base da camada o campo é vertical para cima e vale 40 \mu \mathrm{~V} / \mathrm{m}. A nuvem de cargas termina a 1.000 metros de altitude onde o campo vale 20 \mu \mathrm{~V} / \mathrm{m} e aponta para baixo. Calcule a densidade de cargas na atmosfera em número de elétrons por metro cúbico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede: calcular a densidade de cargas na atmosfera em número de elétrons por metro cúbico.
  • Informações fornecidas:
    • Na base da camada (vamos chamar de altitude z=0) o campo elétrico é vertical para cima com valor 40\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m}.
    • No topo da camada, a 1000\\ \mathrm{m} de altitude, o campo vale 20\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m} e aponta para baixo.
  • Números que vou usar (pegos do enunciado):
    • E(0)=40\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m}.
    • E(1000\\ \mathrm{m})=20\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m} (direção para baixo).
  • Resultado solicitado: número de elétrons por metro cúbico (ou seja, a densidade numérica n tal que a densidade de carga volumétrica \rho = -n e, se as cargas forem elétrons).

Passo 2

Qual a relação física que liga campo elétrico à densidade de carga (a fórmula que vamos usar) e explicação intuitiva.
  • A lei de Gauss no formato diferencial diz que a divergência do campo elétrico é a densidade de carga volumétrica dividida pela permissividade do vácuo:
\nabla\!\cdot\! \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
  • Explicando em palavras: variações do campo elétrico no espaço (como o campo mudar com a altura) são causadas por carga presente naquele volume; \varepsilon_0 é a constante que converte entre essas grandezas.
  • No nosso problema o campo é vertical (apenas componente na direção z) e o problema é essencialmente unidimensional em z. Então a divergência se reduz à derivada vertical:
\frac{dE_z}{dz} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
  • Aqui:
    • E_z(z) é a componente do campo elétrico na direção vertical (positivo para cima);
    • \rho(z) é a densidade volumétrica de carga (em \mathrm{C}/\mathrm{m}^3);
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Observação sobre sinais: se \rho for negativa (excesso de elétrons), então dE_z/dz será negativa; convém definir o eixo z apontando para cima, e tomar os sinais dos campos conforme essa escolha.

Passo 3

Converter os dados numéricos para unidades SI e atribuir sinais conforme a convenção z para cima.
  • Converter microvolts por metro para volts por metro:
    • E(0)=40\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
    • No topo, o campo tem módulo 20\\ \mu\mathrm{V}/\mathrm{m} mas aponta para baixo. Como escolhemos z positivo para cima, isso significa
    E(1000\\ \mathrm{m}) = -\,20\times10^{-6}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Então os valores com sinal são: E(0)=+40\times10^{-6}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m},\qquad E(1000)= -20\times10^{-6}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Estimamos a derivada aproximada (assumindo densidade uniforme dentro da camada, logo dE_z/dz constante): \frac{dE_z}{dz}\approx\frac{E(1000)-E(0)}{1000\\ \mathrm{m}}.

Passo 4

Calcular a variação do campo e a derivada dE_z/dz.
  • Diferença: E(1000)-E(0) = \big(-20\times10^{-6}\big)-\big(+40\times10^{-6}\big) = -60\times10^{-6}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Dividindo por 1000\\ \mathrm{m}: \frac{dE_z}{dz}\approx\frac{-60\times10^{-6}}{1000} = -6{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Usar a relação de Gauss para obter a densidade de carga \rho (em \mathrm{C}/\mathrm{m}^3).
  • Pela fórmula \rho=\varepsilon_0\,\dfrac{dE_z}{dz} e com \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m},
\rho \approx 8{,}854\times10^{-12}\times\big(-6{,}0\times10^{-8}\big)\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
  • Fazendo a multiplicação:
\rho \approx -5{,}3124\times10^{-19}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
  • O sinal negativo indica que a densidade de carga é negativa (excesso de elétrons).

Passo 6

Converter a densidade de carga \rho em número de elétrons por metro cúbico n.
  • Cada elétron tem carga elementar com módulo e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • O número absoluto de elétrons por volume é
n=\frac{|\rho|}{e}.
  • Substituindo números:
n \approx \frac{5{,}3124\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx 3{,}32\\ \text{elétrons por metro cúbico}.éú
  • Interpretação: cerca de 3{,}3 elétrons por metro cúbico (valor muito pequeno — faz sentido fisicamente: o ar é quase eletricamente neutro, então densidades sacramentais de carga são muito pequenas).

Resposta

3{,}32\\ \text{elétrons/m}^3é

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