Suponha uma camada de cargas com distribuição uniforme na atmosfera de Rio Branco. Na base da camada o campo é vertical para cima e vale
. A nuvem de cargas termina a 1.000 metros de altitude onde o campo vale
e aponta para baixo. Calcule a densidade de cargas na atmosfera em número de elétrons por metro cúbico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- O enunciado pede: calcular a densidade de cargas na atmosfera em número de elétrons por metro cúbico.
- Informações fornecidas:
- Na base da camada (vamos chamar de altitude
) o campo elétrico é vertical para cima com valor . - No topo da camada, a
de altitude, o campo vale e aponta para baixo.
- Na base da camada (vamos chamar de altitude
- Números que vou usar (pegos do enunciado):
-
. -
(direção para baixo).
-
- Resultado solicitado: número de elétrons por metro cúbico (ou seja, a densidade numérica
tal que a densidade de carga volumétrica , se as cargas forem elétrons).
Passo 2
Qual a relação física que liga campo elétrico à densidade de carga (a fórmula que vamos usar) e explicação intuitiva.
- A lei de Gauss no formato diferencial diz que a divergência do campo elétrico é a densidade de carga volumétrica dividida pela permissividade do vácuo:
- Explicando em palavras: variações do campo elétrico no espaço (como o campo mudar com a altura) são causadas por carga presente naquele volume;
é a constante que converte entre essas grandezas. - No nosso problema o campo é vertical (apenas componente na direção
) e o problema é essencialmente unidimensional em . Então a divergência se reduz à derivada vertical:
- Aqui:
-
é a componente do campo elétrico na direção vertical (positivo para cima); -
é a densidade volumétrica de carga (em ); -
é a permissividade do vácuo, .
-
- Observação sobre sinais: se
for negativa (excesso de elétrons), então será negativa; convém definir o eixo apontando para cima, e tomar os sinais dos campos conforme essa escolha.
Passo 3
Converter os dados numéricos para unidades SI e atribuir sinais conforme a convenção
para cima.
- Converter microvolts por metro para volts por metro:
-
. - No topo, o campo tem módulo
mas aponta para baixo. Como escolhemos positivo para cima, isso significa
-
- Então os valores com sinal são:
- Estimamos a derivada aproximada (assumindo densidade uniforme dentro da camada, logo
constante):
Passo 4
Calcular a variação do campo e a derivada
.
- Diferença:
- Dividindo por
:
Passo 5
Usar a relação de Gauss para obter a densidade de carga
(em
).
- Pela fórmula
e com ,
- Fazendo a multiplicação:
- O sinal negativo indica que a densidade de carga é negativa (excesso de elétrons).
Passo 6
Converter a densidade de carga
em número de elétrons por metro cúbico
.
- Cada elétron tem carga elementar com módulo
. - O número absoluto de elétrons por volume é
- Substituindo números:
- Interpretação: cerca de
elétrons por metro cúbico (valor muito pequeno — faz sentido fisicamente: o ar é quase eletricamente neutro, então densidades sacramentais de carga são muito pequenas).