Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos seguintes sinais: (2.5pts)
a) x(t)=\frac{d}{d t}\left[e^{-2 t} u(t) \operatorname{sen}(t)\right]
Dica: Transforme o sen em uma soma de exponenciais usando a fórmula de Euler.
e pede a Transformada de Fourier (direta) de x(t). A dica do enunciado é transformar \operatorname{sen}(t) em soma de exponenciais pela fórmula de Euler.
Informações relevantes que temos:
O fator u(t) torna o produto causal (integral de 0 a \infty).
A função dentro da derivada é g(t)=e^{-2t}u(t)\operatorname{sen}(t). Podemos primeiro achar G(\omega), a TF de g(t), e depois usar a propriedade da derivada.
A fórmula de Euler para o seno é \operatorname{sen}(t)=\dfrac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j}.
O objetivo final: encontrar X(\omega), a Transformada de Fourier de x(t).
Passo 2
Primeiro escrevo g(t)=e^{-2t}u(t)\operatorname{sen}(t) usando Euler:
portanto AB=(2+j\omega-j)(2+j\omega+j). Se fatorarmos a=2+j\omega obtemos (a-j)(a+j)=a^2-j^2=a^2+1 (pois j^2=-1). Logo
AB=(2+j\omega)^2+1.
Assim uma forma simples de G(\omega) é
G(\omega)=\frac{1}{(2+j\omega)^2+1}.
Passo 5
Agora usamos a propriedade da derivada no domínio do tempo. Lembrete e demonstração rápida (integração por partes):
Se F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt,
então, assumindo que f(t) e f'(t) satisfazem as condições de decaimento necessárias,
\mathcal{F}\{f'(t)\}=j\omega F(\omega).
Derivação curta: \mathcal{F}\{f'(t)\}=\int f'(t)e^{-j\omega t}dt. Integrando por partes com u=f'(t) e v=e^{-j\omega t}/(-j\omega) obtemos o termo de fronteira f(t)e^{-j\omega t}\big|_{-\infty}^{\infty} (que some se f decai) mais j\omega\int f(t)e^{-j\omega t}dt=j\omega F(\omega).
No nosso caso g(t)=e^{-2t}u(t)\sin t é contínua em t=0 e decai exponencialmente quando t\to\infty, logo as condições valem e