Use o Teo.de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
\oint_{C}\left(e^{x}-x^{2} y\right) d x+3 x^{2} y d y,onde C é a curva fechada determinada por y=x^{2} e x=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{C}(e^{x}-x^{2}y)\,dx + 3x^{2}y\,dy
onde C é o contorno fechado que limita a região entre as curvas y=x^{2} e x=y^{2}.
O conteúdo aplicado será o Teorema de Green, que diz:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interior a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^{x}-x^{2}y,\qquad Q(x,y)=3x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=6xy, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=-\,x^{2}.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =6xy - (-x^{2})=6xy + x^{2}.

Passo 3

Precisamos descrever D, a região entre as curvas.
As interseções de y=x^{2} e x=y^{2} ocorrem em (0,0) e (1,1).
Para 0\le x\le1, temos
y=x^{2} \quad\text{(inferior)} \quad\text{e}\quad y=\sqrt{x} \quad\text{(superior)}.

Passo 4

Aplicando Green, montamos o duplo integral em coordenadas cartesianas:
\iint_{D}(6xy + x^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\!(6xy + x^{2})\,dy\,dx.

Passo 5

Primeiro integramos em y:
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}(6xy + x^{2})\,dy = \Bigl[3x\,y^{2} + x^{2}y\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = 3x\bigl(x - x^{4}\bigr) + x^{2}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr).
Simplificando, o integrando em x fica
3x^{2}-3x^{5} + x^{5/2}-x^{4}.

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(3x^{2}-3x^{5}+x^{5/2}-x^{4}\bigr)\,dx = \Bigl[x^{3}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{7/2}}{7}-\frac{x^{6}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{5} + \frac{2}{7} - \frac{1}{2} = \frac{41}{70}.

Resposta

\displaystyle \frac{41}{70}

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