Use o Teo.de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
,onde
é a curva fechada determinada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é o contorno fechado que limita a região entre as curvas
e
.
O conteúdo aplicado será o Teorema de Green, que diz:
onde
O conteúdo aplicado será o Teorema de Green, que diz:
onde
é a região interior a
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 3
Precisamos descrever
, a região entre as curvas.
As interseções de e
ocorrem em
e
.
Para , temos
As interseções de
Para
Passo 4
Aplicando Green, montamos o duplo integral em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Simplificando, o integrando em
fica
Passo 6
Agora integramos em
de 0 a 1: