Use a fórmula deducida do Teorema de Green: A(\mathbb{D})=\frac{1}{2} \int_{C} x d y-y d x para calcular a área da região dada:
\mathbb{D} é a região limitada pelas curvas y^{2}=x^{3} e y=x

Passo 1

O enunciado pede a área da região \mathbb{D} limitada pelas curvas y^{2}=x^{3} e y=x, usando a fórmula deduzida do Teorema de Green
A(\mathbb{D})=\frac{1}{2}\,\int_{C}x\,dy - y\,dx,
onde C é o contorno fechado de \mathbb{D} percorrido no sentido anti-horário.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção de y^{2}=x^{3} com y=x. Substituindo y=x em y^{2}=x^{3} obtém-se
x^{2}=x^{3}\,\Longrightarrow\,x^{2}(1 - x)=0\,\Longrightarrow\,x=0\text{ ou }x=1.
Logo, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Descrever o contorno C como união de duas curvas:
  1. C_{1}: reta y=x de (0,0) a (1,1);
  2. C_{2}: ramo superior de y^{2}=x^{3}, i.e.\ y=x^{3/2}, de (1,1) de volta a (0,0).
    Escolhemos a parametrização de C no sentido anti-horário.

Passo 4

Parametrização de C_{1}. Seja
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad t\in[0,1].
Então
dx=dt,\quad dy=dt
e
x\,dy - y\,dx = t\,dt - t\,dt = 0.
Portanto
\int_{C_{1}}x\,dy - y\,dx = 0.

Passo 5

Parametrização de C_{2}. Como y^{2}=x^{3} e y\ge0, escrevemos
y(t)=t,\quad x(t)=t^{2/3},\quad t\in[0,1],
percorrendo de (0,0) a (1,1). Calculamos
dx=\tfrac{2}{3}t^{-1/3}\,dt,\quad dy=dt
e
x\,dy - y\,dx = t^{2/3}\,dt - t\cdot\frac{2}{3}t^{-1/3}\,dt =\Bigl(1 - \tfrac{2}{3}\Bigr)t^{2/3}dt =\tfrac{1}{3}t^{2/3}dt.
Logo,
\int_{C_{2}}x\,dy - y\,dx =\int_{0}^{1}\!\tfrac{1}{3}t^{2/3}\,dt =\frac{1}{3}\cdot\frac{t^{5/3}}{5/3}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} =\frac{1}{5}.

Passo 6

Soma das integrais ao longo de C:
\int_{C}x\,dy - y\,dx =\int_{C_{1}}(\cdots)+\int_{C_{2}}(\cdots) =0+\frac{1}{5} =\frac{1}{5}.
Pelo Teorema de Green,
A(\mathbb{D}) =\frac{1}{2}\,\int_{C}x\,dy - y\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} =\frac{1}{10}.

Resposta

A área da região \mathbb{D} é \displaystyle \frac{1}{10}.

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