Determine se as seguintes sequências são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo achar o limite
.
Informações dadas:
- A sequência é dada por
. - A variável
tende para quando falamos do limite da sequência.
Passo 2
Uma maneira simples de manipular essa expressão é fazer a substituição
Com isso temos
e, então,
Passo 3
Agora observo o comportamento de
quando
. Como
temos imediatamente que
Portanto, ao estudar
estou, na prática, estudando o limite de
vezes a razão
quando
.
Passo 4
Preciso usar o limite clássico
Vou explicar por que isso é verdade (sem assumir que já sabe): para
em
vale a desigualdade geométrica conhecida
A intuição geométrica é: numa circunferência de raio
, a corda correspondente ao ângulo
tem comprimento
(menor que o arco de comprimento
), e o segmento tangente está fora do arco (maior que o arco). A desigualdade
pode ser reescrita dividindo todos os termos por
(que é positivo nessa faixa):
Invertendo (mantendo a desigualdade corretamente) obtemos
Agora, como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos que
Isso é a chave que precisamos.
Passo 5
Voltando à sequência: como
quando
e
quando
, pelo limite composto segue que
Multiplicando por
(constante) obtemos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.