Determine se as seguintes sequências são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
a_{n}=n \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=n\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo achar o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações dadas:
  • A sequência é dada por a_{n}=n\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right).
  • A variável n tende para +\infty quando falamos do limite da sequência.

Passo 2

Uma maneira simples de manipular essa expressão é fazer a substituição
x_n=\frac{\pi}{n}.
Com isso temos n=\dfrac{\pi}{x_n} e, então,
a_n = n\cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\pi}{x_n}\cdot \sin(x_n) = \pi\cdot\frac{\sin(x_n)}{x_n}.

Passo 3

Agora observo o comportamento de x_n quando n\to\infty. Como
x_n=\frac{\pi}{n},
temos imediatamente que
\lim_{n\to\infty} x_n = 0.
Portanto, ao estudar \lim_{n\to\infty} a_n estou, na prática, estudando o limite de \pi vezes a razão \dfrac{\sin x}{x} quando x\to 0.

Passo 4

Preciso usar o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vou explicar por que isso é verdade (sem assumir que já sabe): para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica conhecida
\sin x < x < \tan x.
A intuição geométrica é: numa circunferência de raio 1, a corda correspondente ao ângulo x tem comprimento 2\sin(x/2) (menor que o arco de comprimento x), e o segmento tangente está fora do arco (maior que o arco). A desigualdade \sin x < x < \tan x pode ser reescrita dividindo todos os termos por \sin x (que é positivo nessa faixa):
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo (mantendo a desigualdade corretamente) obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso é a chave que precisamos.

Passo 5

Voltando à sequência: como x_n\to 0 quando n\to\infty e \dfrac{\sin x}{x}\to 1 quando x\to 0, pelo limite composto segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(x_n)}{x_n}=1.
Multiplicando por \pi (constante) obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \pi\cdot\frac{\sin(x_n)}{x_n} = \pi\cdot 1 = \pi.
Portanto a sequência converge e seu limite é \pi.

Resposta

\pi

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