Use o Teorema 3.33 do Texto da Semana 4, para encontrar a inversa A^{-1} de cada matriz A abaixo. A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 13 \\\\ 3 & 2 & 12\end{array}\right)
usando o Teorema 3.33 do texto da semana 4. As informações relevantes que temos são todos os elementos da matriz A acima e que devemos aplicar o teorema indicado para obter A^{-1}. Não há outras informações externas.]
Passo 2
Vou explicar o teorema e o método que vou usar (isso é obrigatório para entender a resolução na prova):
O Teorema 3.33 (na forma usada aqui) diz que, se \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugata) de A. Para construir \operatorname{adj}(A) usamos cofatores:
O menor M_{ij} é o determinante da matriz 2\times2 que sobra quando retiramos a linha i e a coluna j de A.
O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A matriz dos cofatores é \big(C_{ij}\big). A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{T}.
Logo o procedimento será:
Calcular \det(A).
Calcular todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}.
Formar \operatorname{adj}(A) transpondo a matriz dos cofatores.
e produtos com as outras colunas dão 0; isso indica que a primeira linha do produto AA^{-1} é [1\\\ 0\\\ 0], consistente com AA^{-1}=I. Isso é um bom sinal de que o cálculo está correto.]