Use o Teorema 3.33 do Texto da Semana 4, para encontrar a inversa A^{-1} de cada matriz A abaixo.
A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 13 \\\\ 3 & 2 & 12\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 5 \\[4pt] 1 & 4 & 13 \\[4pt] 3 & 2 & 12\end{pmatrix}
usando o Teorema 3.33 do texto da semana 4. As informações relevantes que temos são todos os elementos da matriz A acima e que devemos aplicar o teorema indicado para obter A^{-1}. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Vou explicar o teorema e o método que vou usar (isso é obrigatório para entender a resolução na prova):
O Teorema 3.33 (na forma usada aqui) diz que, se \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugata) de A. Para construir \operatorname{adj}(A) usamos cofatores:
  • O menor M_{ij} é o determinante da matriz 2\times2 que sobra quando retiramos a linha i e a coluna j de A.
  • O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores é \big(C_{ij}\big). A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{T}.
Logo o procedimento será:
  1. Calcular \det(A).
  2. Calcular todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}.
  3. Formar \operatorname{adj}(A) transpondo a matriz dos cofatores.
  4. Usar A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).

Passo 3

Calcular \det(A). Vou expandir pela primeira linha (fórmula do desenvolvimento por cofatores):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 13 \\[4pt] 2 & 12\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 13 \\[4pt] 3 & 12\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & 13 \\[4pt] 2 & 12\end{pmatrix}=4\cdot12-13\cdot2=48-26=22,
\det\begin{pmatrix}1 & 13 \\[4pt] 3 & 12\end{pmatrix}=1\cdot12-13\cdot3=12-39=-27,
\det\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-4\cdot3=2-12=-10.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot22 -1\cdot(-27) +5\cdot(-10)=22+27-50=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz é invertível e o teorema permite calcular A^{-1}.]

Passo 4

Calcular menores e cofatores da primeira linha (já usei alguns ao calcular o determinante, repito organizada e com sinal de cofator):
  • Para (i,j)=(1,1): M_{11}=22. Cofator
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot22=22.
  • Para (i,j)=(1,2): M_{12}=-27. Cofator
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-27)=27.
  • Para (i,j)=(1,3): M_{13}=-10. Cofator
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-10)=-10.

Passo 5

Calcular menores e cofatores da segunda linha:
  • Para (i,j)=(2,1): o menor é o determinante da submatriz obtida retirando linha 2 e coluna 1:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 2 & 12\end{pmatrix}=1\cdot12-5\cdot2=12-10=2.
Cofator:
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot2=-2.
  • Para (i,j)=(2,2):
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 3 & 12\end{pmatrix}=1\cdot12-5\cdot3=12-15=-3.
Cofator:
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot(-3)=-3.
  • Para (i,j)=(2,3):
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot3=2-3=-1.
Cofator:
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-1)=1.]

Passo 6

Calcular menores e cofatores da terceira linha:
  • Para (i,j)=(3,1):
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 4 & 13\end{pmatrix}=1\cdot13-5\cdot4=13-20=-7.
Cofator:
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-7)=-7.
  • Para (i,j)=(3,2):
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 13\end{pmatrix}=1\cdot13-5\cdot1=13-5=8.
Cofator:
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot8=-8.
  • Para (i,j)=(3,3):
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot1=4-1=3.
Cofator:
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot3=3.]

Passo 7

Formo a matriz dos cofatores \big(C_{ij}\big) e, em seguida, a adjunta (transposta):
Matriz dos cofatores:
\big(C_{ij}\big)=\begin{pmatrix} 22 & 27 & -10 \\[4pt] -2 & -3 & 1 \\[4pt] -7 & -8 & 3 \end{pmatrix}.
Adjunta (transposta da matriz dos cofatores):
\operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{T}= \begin{pmatrix} 22 & -2 & -7 \\[4pt] 27 & -3 & -8 \\[4pt] -10 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora aplico a fórmula do teorema:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Como \det(A)=-1, temos \dfrac{1}{\det(A)}=-1. Portanto
A^{-1}=-1\cdot\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -22 & 2 & 7 \\[4pt] -27 & 3 & 8 \\[4pt] 10 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Para ficar mais seguro, uma verificação rápida (multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de A^{-1}):
[1\\\ 1\\\ 5]\begin{pmatrix}-22\\[4pt]-27\\[4pt]10\end{pmatrix}=-22-27+50=1,
e produtos com as outras colunas dão 0; isso indica que a primeira linha do produto AA^{-1} é [1\\\ 0\\\ 0], consistente com AA^{-1}=I. Isso é um bom sinal de que o cálculo está correto.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -22 & 2 & 7 \\[4pt] -27 & 3 & 8 \\[4pt] 10 & -1 & -3 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados