Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\,dx
é convergente ou divergente, usando o Teorema da Comparação. O ponto impróprio é em x\to\infty. Vamos comparar o integrando com uma função mais simples cuja convergência seja conhecida.

Passo 2

Note que, para todo x\ge1, temos
x^{4}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad 1+x^{4}\le x^{4}+x^{4}=2x^{4}
Logo,
\sqrt{1+x^{4}}\ge\sqrt{x^{4}}=x^{2}
e, consequentemente,
0\le \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\le \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx
é uma integral p-séria com p=2>1, logo converge. De fato,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1}\Bigr) =1.

Passo 4

Pela comparação, como
0\le \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\le \frac{1}{x^{2}}
e \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx converge, concluímos que
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\,dx
também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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