1. a) Calcule o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}
caso exista.
b) Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x^{2}+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}} \operatorname{sen}\left(e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\right), & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ L, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine o valor de L para que f seja contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado trata de limites em duas variáveis e continuidade.
Na parte (a) queremos verificar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}.
Na parte (b) definimos
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{2}+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}\;\operatorname{sen}\Bigl(e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\Bigr),&(x,y)\neq(0,0),\\[1em] L,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e queremos o valor de L que garanta continuidade de f em (0,0).]

Passo 2

Para a parte (a), examinamos aproximações pelo caminho y=kx. Então
\frac{2x^{2}+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}} = \frac{2x^{2}+4(kx)^{2}}{3x^{2}+5(kx)^{2}} = \frac{2+4k^{2}}{3+5k^{2}}.
Esse valor depende de k, ou seja, muda conforme a direção de aproximação.

Passo 3

Em particular, se k=0 (aproximação ao longo do eixo x),
\frac{2+4\cdot0^{2}}{3+5\cdot0^{2}}=\frac{2}{3},
enquanto que se k\to\infty (aproximação quase ao eixo y),
\frac{2+4k^{2}}{3+5k^{2}}\longrightarrow\frac{4}{5}.
Como \tfrac{2}{3}\neq\tfrac{4}{5}, o limite não é único e, portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^{2}+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}
não existe.

Passo 4

Para a parte (b), f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é o produto
g(x,y)\;\operatorname{sen}\Bigl(e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\Bigr),
onde g(x,y)=\tfrac{2x^{2}+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}} já vimos que não tende a um valor único quando (x,y)\to(0,0), mas apenas oscila entre \tfrac{2}{3} e \tfrac{4}{5}. Além disso \operatorname{sen}(\cdot) oscila em [-1,1].
Assim existem sequências em que \operatorname{sen}(e^{-1/(x^{2}+y^{2})})\to1 e g(x,y)\to\tfrac{4}{5}, fazendo f\to\tfrac{4}{5}, e outras em que \operatorname{sen}(\cdot)=0 dando f\to0. Logo não há valor único para o limite de f(x,y) em (0,0).

Resposta

a) O limite não existe.
b) Não existe valor de L que torne f contínua em (0,0).

Exercícios relacionados