Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
\int_{1}^{\infty} \frac{2+\sin x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{2 + \sin x}{\sqrt{x}}\,dx
Usaremos o Teorema da Comparação, comparando com integrais do tipo \int_{1}^{\infty}x^{-p}dx.

Passo 2

Repare que para todo x vale
-1 \le \sin x \le 1 \qquad\Longrightarrow\qquad 1 \le 2 + \sin x \le 3.
Então
\frac{1}{\sqrt{x}} \;\le\; \frac{2 + \sin x}{\sqrt{x}} \;\le\; \frac{3}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Calculemos a integral de comparação mínima:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{1}^{\infty} x^{-\tfrac12}\,dx = \Bigl[2\,x^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{\infty} = 2\bigl(\infty - 1\bigr) = \infty,
ou seja, diverge.

Passo 4

Pelo Teorema da Comparação, se 0 \le g(x)\le f(x) e \int g diverge, então \int f também diverge. Aqui
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \quad\text{e}\quad f(x)=\frac{2+\sin x}{\sqrt{x}},
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\int_{1}^{\infty}\frac{2+\sin x}{\sqrt{x}}\,dx
diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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