Use o Teorema do Confronto para calcular:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{2} \operatorname{sen}\left(1 / x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to0^-} x^{2}\sin\bigl(1/x^{2}\bigr).
Esse tipo de limite em que uma parte oscilante (o \sin) está multiplicada por um termo que tende a zero sugere usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Sabemos que, para todo real t, vale
-1 \le \sin t \le 1.
Substituindo t = 1/x^{2}, obtemos
-1 \le \sin\bigl(1/x^{2}\bigr) \le 1.
Como x^{2}\ge0 para todo x, multiplicar essa desigualdade por x^{2} preserva os sinais:
-\,x^{2} \;\le\; x^{2}\sin\bigl(1/x^{2}\bigr) \;\le\; x^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos os limites das funções que ficam nos “pedaços” do confronto:
\lim_{x\to0^-} \bigl(-x^{2}\bigr) = 0, \quad \lim_{x\to0^-} x^{2} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária x^{2}\sin(1/x^{2}) também tende a 0 quando x\to0^-.

Resposta

O limite é 0.

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