encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}5 & -1\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e, em seguida, achar os autovetores resolvendo (A - \lambda I)v = 0.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico. Subtraindo \lambda da diagonal de A, obtemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\\ 3 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A - \lambda I) = (5-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot 3 = (5-\lambda)(1-\lambda) + 3.
Desenvolvendo,
(5-\lambda)(1-\lambda) + 3 = 5 -6\lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 -6\lambda + 8.

Passo 3

Igualando a zero o polinômio característico,
\lambda^2 -6\lambda + 8 = 0.
As raízes dessa equação quadrática são
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot1\cdot8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 -32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2},
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\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = 4, resolvemos
(A - 4I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}5-4 & -1\\\ 3 & 1-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
ou seja
\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
A primeira linha dá x - y = 0, então y = x. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}
(qualquer múltiplo escalar de v_1 também funciona).

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, fazemos
(A - 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}5-2 & -1\\\ 3 & 1-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0,
isto é
\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem 3x - y = 0, logo y = 3x. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 4, com autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
\lambda_2 = 2, com autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

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