Use o teorema do confronto calcular o valor dos limites:
lim x 0^- x^3 ln (2+cos (1x))

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^- x^3,lnl(2+cos(1/x)r).
O conteúdo principal é o teorema do confronto (squeeze theorem) e usaremos também a propriedade de que a função ln é crescente no seu domínio.

Passo 2

Como para todo real t vale
-1 <= cos t <= 1,
substituindo t=1/x obtemos
1 <= 2 + cosl(1/xr) <= 3

Passo 3

Aplicando ln (função crescente) a essa desigualdade temos
ln(1) <= lnl(2+cos(1/x)r) <= ln(3),
isto é,
0 <= lnl(2+cos(1/x)r) <= ln(3)

Passo 4

Multiplicamos a cadeia acima por x^3. Como estamos tomando xto0^-, temos x^3<0, então as desigualdades invertem-se:
0 >= x^3,lnl(2+cos(1/x)r) >= x^3,ln(3)

Passo 5

Agora fazemos xto0^-. Sabemos que
limxto0^-0 = 0, limxto0^-x^3,ln(3) = ln(3),limxto0^-x^3 = 0
Pelo teorema do confronto,
limxto0^-x^3,lnl(2+cos(1/x)r) = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados