- Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência
é convergente. Em seguida, determine o limite desta sequência.
- Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
(a) Exprima
em função de
;
(a) Exprima
Passo 1
O enunciado tem duas partes: a) usar o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência
converge e encontrar seu limite; b) para a sequência
, achar uma relação de recorrência que expresse
em função de
. Vamos precisar entender monotonia, boundedness (limitado) e produzir uma relação de termos consecutivos.
Passo 2
Para mostrar que
é monótona, calculamos a razão entre termos consecutivos:
Como
, então
para todo
, logo
. Portanto
é estritamente decrescente.
Passo 3
Cada
(pois
e
), então
é limitada inferiormente por zero. Como
é decrescente e não fica abaixo de zero, pelo teorema da convergência monótona ela converge.
Passo 4
Para encontrar o limite
, basta notar que
Quando a razão de termos consecutivos tende a um valor menor que 1, o limite da sequência deve ser zero. Logo
Passo 5
Para a sequência
, calculamos
Essa é a relação pedida entre
e
.