1. Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência (n!n^n) é convergente. Em seguida, determine o limite desta sequência.
  2. Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdots (2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n. Faça o que se pede:
    (a) Exprima an+1 em função de an;

Passo 1

O enunciado tem duas partes: a) usar o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência xn=n!n^n converge e encontrar seu limite; b) para a sequência an=1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n), achar uma relação de recorrência que expresse an+1 em função de an. Vamos precisar entender monotonia, boundedness (limitado) e produzir uma relação de termos consecutivos.

Passo 2

Para mostrar que (xn) é monótona, calculamos a razão entre termos consecutivos:
xn+1/xn=(n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n = (n+1),n^n(n+1)^n+1 = l(nn+1r)^n
Como 0, então (n/(n+1))^n<1 para todo n, logo xn+1. Portanto (xn) é estritamente decrescente.

Passo 3

Cada xn>0 (pois n!>0 e n^n>0), então (xn) é limitada inferiormente por zero. Como (xn) é decrescente e não fica abaixo de zero, pelo teorema da convergência monótona ela converge.

Passo 4

Para encontrar o limite L=limntoinftyxn, basta notar que
limntoinftyxn+1xn=limntoinftyl(nn+1r)^n= e^-1<1
Quando a razão de termos consecutivos tende a um valor menor que 1, o limite da sequência deve ser zero. Logo
L=0

Passo 5

Para a sequência an=1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n), calculamos
an+1=1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2cdot4cdots(2n),(2n+2) = ancdot2n+12n+2
Essa é a relação pedida entre an+1 e an.

Resposta

limntoinftyn!n^n=0
an+1=an,2n+12n+2

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