- Estude a convergência da integral imprópria
, onde
é um número real qualquer.
- Determine uma função
tal que
exista e
seja divergente.
- Um circuito elétrico tem uma resistência de
ohms, uma indutância de
henrys e uma força eletromotriz de
volts, onde
e
são positivos. Se
ampères for a corrente passando no circuito
segundos depois que foi ligado, então
. Se
e
são constantes, ache
.
- Numa progressão geométrica, se
for o primeiro termo,
for a razão comum a dois termos sucessivos e
for a soma dos
primeiros termos, então se
. Ache o
. O resultado será consistente com a soma dos
primeiros termos se
?
- Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado traz várias questões envolvendo integrais impróprias, limites de funções de parâmetros e propriedades de sequências. Vamos precisar: para a integral ∫₁^∞ 1/x^p usar o teste do p-integral; para a questão 6, construir uma função cuja integral de Cauchy exista mas a integral imprópria não; para a 7, calcular um limite de parâmetro zero usando série ou regra de l’Hôpital; para a 8, aplicar l’Hôpital ao quociente (r^n−1)/(r−1); e para a 9(a), reconhecer uma progressão aritmética e estudar sua convergência.
Passo 2
Para a integral ∫₁^∞ 1/x^p d x (questão 5) consideramos a antiderivada de 1/x^p que é x^(−p+1)/(−p+1) se p≠1. Avaliamos de 1 a A e depois tomamos A→∞:
Se p>1 então 1−p<0 e A^{1-p}→0, logo a integral converge. Se p≤1, A^{1-p} não tende a zero (ou é logaritmo quando p=1) e a integral diverge.
Passo 3
Na questão 6 queremos uma função f tal que o valor principal
exista mas
diverge. Bastar escolher f ímpar, por exemplo
Então para todo t
fazendo o limite dar zero. Mas a integral imprópria
diverge, logo
não converge.
Passo 4
Na questão 7 temos
Para R→0+ podemos usar a expansão
logo
Assim
Passo 5
Na questão 8 o somatório de n termos de PG é
Ao passar r→1 temos forma 0/0, aplicamos l’Hôpital: derivando numerador e denominador em r
Se r=1 todos os termos valem a e a soma é a+a+⋯+a=n a, o que bate com an.
Passo 6
Na questão 9(a) a sequência (1,4,7,10,…) é aritmética com a₁=1 e razão d=3. O termo geral é
O termo de ordem n+1 é
Como a_n→∞ quando n→∞, essa sequência diverge.
Resposta
- A integral
converge iff p>1 e diverge se p≤1. - Um exemplo é
, pois existe, mas a integral imprópria diverge. -
-
, consistente com soma n a quando r=1.
9(a)., diverge, e