1. Estude a convergência da integral imprópria integral1^+infty 1x^p d x, onde p é um número real qualquer.
  2. Determine uma função f tal que lim t +infty integral-t^t f(x) d x exista e integral-infty^+infty f(x) d x seja divergente.
  3. Um circuito elétrico tem uma resistência de R ohms, uma indutância de L henrys e uma força eletromotriz de E volts, onde R, L e E são positivos. Se i ampères for a corrente passando no circuito t segundos depois que foi ligado, então i=ER(1-e^-R t / L). Se t, E e L são constantes, ache lim R 0^+ i.
  4. Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos n primeiros termos, então se r neq 1, S=a(r^n-1)r-1. Ache o lim r 1 S. O resultado será consistente com a soma dos n primeiros termos se r=1 ?
  5. Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
    (a) (1,4,7,10, ldots)

Passo 1

O enunciado traz várias questões envolvendo integrais impróprias, limites de funções de parâmetros e propriedades de sequências. Vamos precisar: para a integral ∫₁^∞ 1/x^p usar o teste do p-integral; para a questão 6, construir uma função cuja integral de Cauchy exista mas a integral imprópria não; para a 7, calcular um limite de parâmetro zero usando série ou regra de l’Hôpital; para a 8, aplicar l’Hôpital ao quociente (r^n−1)/(r−1); e para a 9(a), reconhecer uma progressão aritmética e estudar sua convergência.

Passo 2

Para a integral ∫₁^∞ 1/x^p d x (questão 5) consideramos a antiderivada de 1/x^p que é x^(−p+1)/(−p+1) se p≠1. Avaliamos de 1 a A e depois tomamos A→∞:
integral1^Ax^-pdx=A^1-p-11-p
Se p>1 então 1−p<0 e A^{1-p}→0, logo a integral converge. Se p≤1, A^{1-p} não tende a zero (ou é logaritmo quando p=1) e a integral diverge.

Passo 3

Na questão 6 queremos uma função f tal que o valor principal limtto+inftyintegral-t^tf(x)dx exista mas integral-infty^+inftyf(x)dx diverge. Bastar escolher f ímpar, por exemplo
f(x)=x
Então para todo t
integral-t^tx,dx=0
fazendo o limite dar zero. Mas a integral imprópria integral0^inftyx,dx diverge, logo integral-infty^inftyx,dx não converge.

Passo 4

Na questão 7 temos
i(R)=ERl(1-e^-Rt/Lr)
Para R→0+ podemos usar a expansão e^-Rt/Lapprox1-RtL+o(R). Então
1-e^-Rt/LapproxRtL,
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i(R)approxERcdotRtL=EtL
Assim limRto0+i(R)=EtL

Passo 5

Na questão 8 o somatório de n termos de PG é
S(r)=a(r^n-1)r-1, rneq1
Ao passar r→1 temos forma 0/0, aplicamos l’Hôpital: derivando numerador e denominador em r
limrto1S(r)=limrto1a,nr^n-11=an
Se r=1 todos os termos valem a e a soma é a+a+⋯+a=n a, o que bate com an.

Passo 6

Na questão 9(a) a sequência (1,4,7,10,…) é aritmética com a₁=1 e razão d=3. O termo geral é
an=1+(n-1)cdot3=3n-2
O termo de ordem n+1 é
an+1=3(n+1)-2=3n+1
Como a_n→∞ quando n→∞, essa sequência diverge.

Resposta

  1. A integral integral1^inftyx^-pdx converge iff p>1 e diverge se p≤1.
  2. Um exemplo é f(x)=x, pois limttoinftyintegral-t^tx,dx=0 existe, mas a integral imprópria diverge.
  3. limRto0^+i=EtL
  4. limrto1a(r^n-1)r-1=an, consistente com soma n a quando r=1.
    9(a). an=3n-2, diverge, e an+1=3n+1

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