Esboce a região de integração e calcule as integrais.
Passo 1
A integral dada é
Precisamos esboçar a região de integração D no plano xy e depois calcular essa integral iterada. O conteúdo envolve integral dupla em coordenadas cartesianas e técnicas de integração simples e por partes.
Passo 2
A região D é definida por
No plano xy isso forma um retângulo com vértices em (0,0), (\pi/6,0), (\pi/6,\pi/3) e (0,\pi/3).
Passo 3
Começamos pela integral interna em y, tratando x como constante. Temos
Então a integral original vira
Passo 4
Agora dividimos em duas integrais:
A integral pedida é .
Passo 5
Para calcular usamos integração por partes:
Escolhe-se e , então e . Pela fórmula :
Avaliando de 0 a :
Passo 6
Para fazemos a substituição , então e quando temos , e quando temos . Assim: