Esboce a região de integração e calcule as integrais.
integral0^pi / 6 integral0^pi / 3 x sin (x+y) d y d x

Passo 1

A integral dada é
integral0^pi/6integral0^pi/3xsin(x+y),dy,dx
Precisamos esboçar a região de integração D no plano xy e depois calcular essa integral iterada. O conteúdo envolve integral dupla em coordenadas cartesianas e técnicas de integração simples e por partes.

Passo 2

A região D é definida por
0<= x<= pi6,0<= y<= pi3
No plano xy isso forma um retângulo com vértices em (0,0), (\pi/6,0), (\pi/6,\pi/3) e (0,\pi/3).

Passo 3

Começamos pela integral interna em y, tratando x como constante. Temos
integral0^pi/3sin(x+y),dy =l[-cos(x+y)r]y=0^y=pi/3 = -cosl(x+tfracpi3r)+cos(x) =cos(x)-cosl(x+tfracpi3r)
Então a integral original vira
integral0^pi/6xl[cos(x)-cos(x+tfracpi3)r],dx

Passo 4

Agora dividimos em duas integrais:
I1=integral0^pi/6xcos(x),dx, I2=integral0^pi/6xcosl(x+tfracpi3r),dx
A integral pedida é I1-I2.

Passo 5

Para calcular I1=integral xcos x,dx usamos integração por partes:
Escolhe-se u=x e dv=cos x,dx, então du=dx e v=sin x. Pela fórmula integral u,dv=u v-integral v,du:
integral xcos x,dx=xsin x-integralsin x,dx=xsin x+cos x
Avaliando de 0 a pi/6:
I1=l[xsin x+cos xr]0^pi/6 =l(tfracpi6cdottfrac12+tfracraiz32r)-l(0+1r) =pi12+raiz32-1

Passo 6

Para I2=integral0^pi/6xcos(x+tfracpi3),dx fazemos a substituição u=x+tfracpi3, então x=u-tfracpi3 e quando x=0 temos u=tfracpi3, e quando x=tfracpi6 temos u=tfracpi2. Assim:
I2=integralu=pi/3^pi/2l(u-tfracpi3r)cos u,du =integralpi/3^pi/2ucos u,du-pi3integralpi/3^pi/2cos u,du
A primeira parte por partes (como antes) dá
integral ucos u,du=usin u+cos u
e avaliado de pi/3 a pi/2 resulta em
l(usin u+cos ur)pi/3^pi/2 =l(tfracpi2cdot1+0r)-l(tfracpiraiz36+tfrac12r) =pi2-piraiz36-12
A segunda parte é
integralpi/3^pi/2cos u,du=sin ul|pi/3^pi/2=1-raiz32
Multiplicando por pi/3:
pi3l(1-tfracraiz32r)=pi(2-raiz3)6
Logo,
I2=l(pi2-piraiz36-12r)-pi(2-raiz3)6 =pi6-12

Passo 7

Subtraindo I1-I2 e simplificando:
l(tfracpi12+tfracraiz32-1r)-l(tfracpi6-tfrac12r) = -pi12+raiz32-12 =raiz3-12-pi12

Resposta

raiz3-12-pi12

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