Use o Teorema da Convolução para calcular
L^-1(1(s+1)(s^2+1))

Passo 1

O problema pede L^-1F(s) com F(s)=1(s+1)(s^2+1). Vamos usar o Teorema da Convolução, que diz que se F(s)=F1(s)F2(s), então L^-1F(s)=f1*f2, onde $f_i=\mathcal{L}^{-1}{F_i}.

Passo 2

Separamos F(s) em F1(s)=1s+1 e F2(s)=1s^2+1. Assim
f1(t)=L^-1l1s+1r=e^-t, f2(t)=L^-1l1s^2+1r=sin t

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução temos
f(t)=f1*f2(t)=integral0^t f1(tau),f2(t-tau),dtau=integral0^t e^-tausin(t-tau),dtau

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
sin(t-tau)=sin tcostau-cos tsintau,
então
$$f(t)=\sin t\int_0^t e^{-\tau}\cos\tau,d\tau;-
\cos t\int_0^t e^{-\tau}\sin\tau,d\tau.$$

Passo 5

Agora calculamos as integrais padrão (fazendo por partes ou usando fórmulas conhecidas):
integral0^t e^-taucostau,dtau=1 - e^-t(-cos t+sin t)2,
integral0^t e^-tausintau,dtau=1 - e^-t(sin t+cos t)2

Passo 6

Substituindo em f(t) e simplificando, obtemos
f(t)=e^-t-cos t+sin t2

Resposta

f(t)=e^-t-cos t+sin t2

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