Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
y(t)=1+integral0^t y(tau) d tau

Passo 1

Vamos resolver a equação integral . Nessa equação, queremos encontrar a função que satisfaz essa relação. Para isso, vamos usar o Teorema da Convolução, que nos auxilia a transformar equações integrais em formas mais fáceis de resolver usando transformadas, como a de Laplace.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função L y(t) = L 1 + L integral0^t y(tau) , dtau é denotada por . Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Sabemos que:
L 1 = 1s
E para a integral, usamos a propriedade da transformada de Laplace para integrais:
L integral0^t y(tau) , dtau = Y(s)s
Substituindo na equação:
Y(s) = 1s + Y(s)s

Passo 4

Agora, vamos resolver para Y(s) - Y(s)s = 1s . Primeiro, isolamos Y(s) (1 - 1s) = 1s :
Y(s) (s - 1s) = 1s
Fatorando Y(s) = 1s - 1 :
Simplificando o termo dentro dos parênteses:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1 1s - a = e^a t . Sabemos que:
y(t) = e^t
No nosso caso, , então:

Resposta

A solução da equação integral é:
y(t) = e^t

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