Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
Passo 1
Vamos resolver a equação integral
. Nessa equação, queremos encontrar a função
que satisfaz essa relação. Para isso, vamos usar o Teorema da Convolução, que nos auxilia a transformar equações integrais em formas mais fáceis de resolver usando transformadas, como a de Laplace.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função
é denotada por
. Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Sabemos que:
E para a integral, usamos a propriedade da transformada de Laplace para integrais:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Fatorando
:
Simplificando o termo dentro dos parênteses:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Resposta
A solução da equação integral é: