Use o Teorema da Convolução para obter a transformada de Laplace inversa:
G(s)=\frac{3}{\left(s^{2}+4\right)\left(s^{2}+9\right)}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa de G(s)=\dfrac{3}{\left(s^{2}+4\right)\left(s^{2}+9\right)}. Ou seja, achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t).
Informações dadas relevantes:
G(s)=\frac{3}{(s^{2}+4)(s^{2}+9)}.
Não há mais dados; vamos usar o Teorema da Convolução para inverter essa função.

Passo 2

Lembrete útil (aula rápida): a transformada de Laplace da função \sin(at) é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Isso significa, despejando,
\frac{1}{s^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\,\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s).
Aqui cada variável significa: a é uma constante positiva (frequência), s é a variável do espaço de Laplace, e t é a variável do tempo.

Passo 3

Usando o item anterior, reescrevemos os fatores em G(s). Note que
\frac{1}{s^{2}+4}=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s) \quad\text{e}\quad \frac{1}{s^{2}+9}=\frac{1}{3}\,\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s).
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G(s)=3\cdot\frac{1}{s^{2}+4}\cdot\frac{1}{s^{2}+9} =3\cdot\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}\sin(2t)\right\}(s)\cdot\mathcal{L}\left\{\frac{1}{3}\sin(3t)\right\}(s).
Definimos, para simplificar:
f_1(t)=\frac{1}{2}\sin(2t),\qquad f_2(t)=\frac{1}{3}\sin(3t).
Então G(s)=3\cdot\mathcal{L}\{f_1\}(s)\,\mathcal{L}\{f_2\}(s).

Passo 4

Teorema da Convolução (lembrando): se F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e H(s)=\mathcal{L}\{h\}(s), então
\mathcal{L}\{f*h\}(s)=F(s)\,H(s),
onde a convolução (f*h)(t) é
(f*h)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aplicando ao nosso caso, a transformada inversa é
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t)=3\cdot(f_1*f_2)(t) =3\int_{0}^{t} f_1(\tau)\,f_2(t-\tau)\,d\tau.

Passo 5

Escrevendo explicitamente o integrando:
(f_1*f_2)(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\sin(2\tau)\cdot\frac{1}{3}\sin(3(t-\tau))\,d\tau =\frac{1}{6}\int_{0}^{t}\sin(2\tau)\sin(3t-3\tau)\,d\tau.
Agora precisamos calcular a integral
I(t)=\int_{0}^{t}\sin(2\tau)\sin(3t-3\tau)\,d\tau.

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Tomando A=2\tau e B=3t-3\tau temos
\sin(2\tau)\sin(3t-3\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(5\tau-3t)-\cos(3t-\tau)\big).
Portanto
I(t)=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{t}\big(\cos(5\tau-3t)-\cos(3t-\tau)\big)\,d\tau.
Substituindo em (f_1*f_2)(t):
(f_1*f_2)(t)=\frac{1}{6}\cdot I(t)=\frac{1}{12}\int_{0}^{t}\big(\cos(5\tau-3t)-\cos(3t-\tau)\big)\,d\tau.

Passo 7

Integramos termo a termo. As primitiva de \cos(5\tau-3t) em relação a \tau é \tfrac{1}{5}\sin(5\tau-3t). A primitiva de \cos(3t-\tau) em relação a \tau é \sin(\tau-3t) (porque \frac{d}{d\tau}\sin(\tau-3t)=\cos(\tau-3t) e \cos(\tau-3t)=\cos(3t-\tau)). Então
(f_1*f_2)(t)=\frac{1}{12}\left[\frac{1}{5}\sin(5\tau-3t)-\sin(\tau-3t)\right]_{0}^{t}.

Passo 8

Avaliaremos as expressões nos limites:
Para \tau=t:
\frac{1}{5}\sin(5t-3t)-\sin(t-3t)=\frac{1}{5}\sin(2t)-\sin(-2t)=\frac{1}{5}\sin(2t)+\sin(2t)=\frac{6}{5}\sin(2t).
Para \tau=0:
\frac{1}{5}\sin(-3t)-\sin(-3t)=\left(\frac{1}{5}-1\right)\sin(-3t)=-\frac{4}{5}\sin(-3t)=\frac{4}{5}\sin(3t).
(Usei \sin(-\theta)=-\sin(\theta).)
Agora a diferença (parte superior menos inferior) é
\frac{6}{5}\sin(2t)-\frac{4}{5}\sin(3t).
Multiplicando pelo fator \frac{1}{12} obtemos
(f_1*f_2)(t)=\frac{1}{12}\left(\frac{6}{5}\sin(2t)-\frac{4}{5}\sin(3t)\right) =\frac{1}{10}\sin(2t)-\frac{1}{15}\sin(3t).

Passo 9

Finalmente, lembrando que g(t)=3\cdot(f_1*f_2)(t), multiplicamos por 3:
g(t)=3\left(\frac{1}{10}\sin(2t)-\frac{1}{15}\sin(3t)\right) =\frac{3}{10}\sin(2t)-\frac{1}{5}\sin(3t).

Resposta

\displaystyle g(t)=\frac{3}{10}\sin(2t)-\frac{1}{5}\sin(3t)

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