Use o Teorema da Convolução para obter a transformada de Laplace inversa:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa de
. Ou seja, achar
.
Informações dadas relevantes:
Não há mais dados; vamos usar o Teorema da Convolução para inverter essa função.
Passo 2
Lembrete útil (aula rápida): a transformada de Laplace da função
é
Isso significa, despejando,
Aqui cada variável significa:
é uma constante positiva (frequência),
é a variável do espaço de Laplace, e
é a variável do tempo.
Passo 3
Usando o item anterior, reescrevemos os fatores em
. Note que
Logo
Definimos, para simplificar:
Então
.
Passo 4
Teorema da Convolução (lembrando): se
e
, então
onde a convolução
é
Aplicando ao nosso caso, a transformada inversa é
Passo 5
Escrevendo explicitamente o integrando:
Agora precisamos calcular a integral
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica
Tomando
e
temos
Portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Integramos termo a termo. As primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
em relação a
é
(porque
e
). Então
Passo 8
Avaliaremos as expressões nos limites:
Para
:
Para
:
(Usei
.)
Agora a diferença (parte superior menos inferior) é
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, multiplicamos por
: