Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a
de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observação importante sobre domínio: a função
só está definida para
, então vamos trabalhar em
.
Passo 2
Reescrevo a função de forma que fique fácil aplicar regras de derivação: transformar a divisão por potência em potência negativa. Assim
Aqui eu defini a parte interna como
para facilitar a aplicação da regra da cadeia.
Passo 3
Vou lembrar e explicar a regra que vou usar: a regra da cadeia para a derivada de uma composição. Se tivermos uma função composta
, então
No caso específico de uma potência
(onde
é um número), a derivada é
Juntando ambos: para
vale
Explicando as letras:
é a função interna que depende de
;
é o expoente;
é a derivada da função interna em relação a
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: temos
com
.
A constante multiplicativa pode ficar fora da derivada. Primeiro calculo
:
A constante
Aqui usei que a derivada de uma constante é
e a derivada de
é
(válido para
).
Passo 5
Agora derivo
usando a fórmula da potência e a regra da cadeia:
Multiplicando pela constante externa
temos
Substituo
e
:
Passo 6
Faço as simplificações algébricas finais:
, e potência negativa para forma de fração:
Relembro que esta expressão é válida para
.