Calcule:
D_{x}\left[\frac{2}{(2+\ln \mathrm{x})^{2}}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a x de
\frac{2}{(2+\ln \mathrm{x})^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
f(x)=\frac{2}{(2+\ln \mathrm{x})^{2}}.
Observação importante sobre domínio: a função \ln \mathrm{x} só está definida para \mathrm{x}>0, então vamos trabalhar em \mathrm{x}>0.

Passo 2

Reescrevo a função de forma que fique fácil aplicar regras de derivação: transformar a divisão por potência em potência negativa. Assim
f(x)=2\,(2+\ln \mathrm{x})^{-2}.
Aqui eu defini a parte interna como u(x)=2+\ln \mathrm{x} para facilitar a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Vou lembrar e explicar a regra que vou usar: a regra da cadeia para a derivada de uma composição. Se tivermos uma função composta f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No caso específico de uma potência g(u)=u^{n} (onde n é um número), a derivada é
\frac{d}{du}u^{n}=n\,u^{n-1}.
Juntando ambos: para f(x)=u(x)^{n} vale
f'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Explicando as letras: u(x) é a função interna que depende de x; n é o expoente; u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: temos f(x)=2\cdot u(x)^{-2} com u(x)=2+\ln \mathrm{x}.
A constante 2 multiplicativa pode ficar fora da derivada. Primeiro calculo u'(x):
u(x)=2+\ln \mathrm{x}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=0+(\ln \mathrm{x})' = \frac{1}{\mathrm{x}}.
Aqui usei que a derivada de uma constante é 0 e a derivada de \ln \mathrm{x} é \dfrac{1}{\mathrm{x}} (válido para \mathrm{x}>0).

Passo 5

Agora derivo u^{-2} usando a fórmula da potência e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}u(x)^{-2} = -2\,u(x)^{-3}\cdot u'(x).
Multiplicando pela constante externa 2 temos
f'(x)=2\cdot\big(-2\,u(x)^{-3}\cdot u'(x)\big).
Substituo u'(x)=\dfrac{1}{\mathrm{x}} e u(x)=2+\ln \mathrm{x}:
f'(x)=2\cdot(-2)\,(2+\ln \mathrm{x})^{-3}\cdot\frac{1}{\mathrm{x}}.

Passo 6

Faço as simplificações algébricas finais: 2\cdot(-2)=-4, e potência negativa para forma de fração:
f'(x)=-4\cdot\frac{1}{\mathrm{x}}\cdot(2+\ln \mathrm{x})^{-3} = -\frac{4}{\mathrm{x}\,(2+\ln \mathrm{x})^{3}}.
Relembro que esta expressão é válida para \mathrm{x}>0.

Resposta

-\frac{4}{\mathrm{x}\,(2+\ln \mathrm{x})^{3}}

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