Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
y(t)=1-senh t+integral0^t(1+tau) y(t-tau) d tau

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação integral de convolução do tipo Volterra de segunda espécie:
y(t)=1-sinh t+integral0^t(1+tau),y(t-tau),dtau
O conteúdo envolve o Teorema da Convolução e vamos usar Transformada de Laplace para converter a equação integral em algébrica.

Passo 2

Aplicamos Transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=Ly(t), obtemos:
F(s)=L1-sinh t=1s-1s^2-1,
K(s)=L1+tau=1s+1s^2,
e pela convolução
Llintegral0^t(1+tau)y(t-tau),dtaur=K(s),Y(s)

Passo 3

A equação transformada fica
Y(s)=F(s)+K(s)Y(s)
Isolando Y(s):
Y(s)l(1-K(s)r)=F(s) Longrightarrow Y(s)=F(s)1-K(s)
Substituindo os valores:
1-K(s)=1-l(1s+1s^2r)=s^2-s-1s^2,
Y(s)=1s-1s^2-1s^2-s-1s^2= racs^2l(1s-1s^2-1r)s^2-s-1= racss^2-1

Passo 4

Fazendo frações parciais em Y(s):
s(s-1)(s+1)=1/2s-1+1/2s+1
Invertendo a Transformada de Laplace:
y(t)=12e^t+12e^-t=cosh t

Resposta

y(t)=cosh t

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