Encontre a transformada de Laplace inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{2 s^{3} - 3 s^{2} + 3}{s^{4} - 6 s^{2} + 8} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace. Vamos dividir a função em partes mais simples para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função $ F(s) $. A expressão no denominador é:
Podemos notar que isso é um polinômio de quarto grau. Para fatorar, vamos tentar encontrar fatores quadráticos:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Assumimos que $ F(s) $ pode ser escrita como:
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum $ (s^{2} - 4)(s^{2} - 2) $:
Passo 4
Expandindo os termos à direita:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Substituindo $ B = -3 - D $ na quarta equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, podemos reescrever $ F(s) $:
Passo 7
Vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos:
- Para $ \frac{4 s}{s^{2} - 4} $:
- Para $ \frac{-\frac{9}{2}}{s^{2} - 4} $:
- Para $ \frac{-2 s}{s^{2} - 2} $:
- Para $ \frac{\frac{3}{2}}{s^{2} - 2} $:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é: