Encontre a transformada de Laplace inversa. F(s)=2 s^3-3 s^2+3s^4-6 s^2+8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{2 s^{3} - 3 s^{2} + 3}{s^{4} - 6 s^{2} + 8} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace. Vamos dividir a função em partes mais simples para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função $ F(s) $. A expressão no denominador é:
F(s)
Podemos notar que isso é um polinômio de quarto grau. Para fatorar, vamos tentar encontrar fatores quadráticos:
s^4 - 6 s^2 + 8
Então, temos:
s^4 - 6 s^2 + 8 = (s^2 - 4)(s^2 - 2)

Passo 3

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Assumimos que $ F(s) $ pode ser escrita como:
F(s)
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum $ (s^{2} - 4)(s^{2} - 2) $:
F(s) = A s + Bs^2 - 4 + C s + Ds^2 - 2

Passo 4

Expandindo os termos à direita:
(A s + B)(s^2 - 2) = A s^3 - 2 A s + B s^2 - 2 B
(C s + D)(s^2 - 4) = C s^3 - 4 C s + D s^2 - 4 D
Somando tudo:
(A + C) s^3 + (B + D) s^2 + (-2 A - 4 C) s + (-2 B - 4 D) = 2 s^3 - 3 s^2 + 3

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = 2 B + D = -3 -2 A - 4 C = 0 -2 B - 4 D = 3
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
-2 A - 4 C = 0 Rightarrow A + 2 C = 0 Rightarrow A = -2 C
Substituindo na primeira equação:
-2 C + C = 2 Rightarrow -C = 2 Rightarrow C = -2
A = -2 (-2) = 4
Da segunda equação:
B + D = -3
Da quarta equação:
-2 B - 4 D = 3
Substituindo $ B = -3 - D $ na quarta equação:
B = -3 - D
-2 (-3 - D) - 4 D = 3 Rightarrow 6 + 2 D - 4 D = 3 Rightarrow -2 D = -3 Rightarrow D = 32

Passo 6

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, podemos reescrever $ F(s) $:
A

Passo 7

Vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1ss^2 - a^2 = cosh(a t)
L^-11s^2 - a^2 = 12 a sinh(a t)
Aplicando isso aos termos:
  1. Para $ \frac{4 s}{s^{2} - 4} $:
4 ss^2 - 4
  1. Para $ \frac{-\frac{9}{2}}{s^{2} - 4} $:
4 cosh(2 t)
  1. Para $ \frac{-2 s}{s^{2} - 2} $:
-92s^2 - 4
  1. Para $ \frac{\frac{3}{2}}{s^{2} - 2} $:
-92 cdot 14 sinh(2 t) = -98 sinh(2 t)

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

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